Provando a fare il conto come dicevo sopra, viene un risultato piuttosto brutto e sicuramente sbagliato; trovo che:
Dove
è la somma delle masse inerziali,
di quelle gravitazionali. Ho assunto che
ed ho sbagliato a farlo, non è corretto.
Ti riassumo come funzionano per davvero le cose:
- Le leggi giuste sono
(
massa inerziale) e
(qui le masse sono gravitazionali). Non so se Newton ha fatto qualcosa di diverso partendo dall'equazione di Keplero, ma le relazioni che si accettano adesso sono quelle che ho scritto io.
- La legge di Keplero è una legge che si ricava dall'equazione del moto e dall'espressione della forza gravitazionale; nel ricavarla solitamente si usa che le masse sono uguali, e quindi si semplificano in parte dall'equazione del moto. È possibile prendere le due equazioni qua sopra e risolvere il problema senza usare che
, e arrivare ad un'equazione che è analoga all'equazione di Keplero ma dipende in modo più antipatico dai due tipi di masse. Non è un conto molto corto nè entusiasmante, perciò non mi metterei a farlo. Forse si riesce a ripercorrere la soluzione del problema classico e trovare una scorciatoia (magari un cambio di variabili) per indovinare come diventa l'equazione di Keplero nel nostro caso; puoi provare a pensarci.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
