Simulazione di Senigallia - Le soluzioni

[CoNVeRGe.]

Azzardo una risposta del punto 1 del problema 1.1, si chiede di spiegare ma io cerco praticamente di dimostrarlo (e non so con quale esito)


Supponiamo che la parete del cilindro sia larga e che ai tempi e la situazione del foro in sezione sia quella che allego in un rudimentalissimo disegno.

Nell'istante anche il livello superiore dell'acqua è sceso di , precisamente vale l'equazione: (1)


Per la conservazione dell'energia: (2)

con
, e le velocità della massa in uscita dal foro e della massa d'acqua in 'discesa'.

Dall'equazione (1):

e poi
, che è trascurabile perchè

Sostituendo nell'equazione (2) otteniamo con pochi passaggi:

Sinceramente non credo sia valida, son curioso di sapere una dimostrazione o una valida spiegazione richiesta dal testo.

[pascal]

L’equazione teorica della gittata x si può scrivere come



con



I rapporti tra i coefficienti sperimentali e teorici risultano:





La riduzione del modulo di B va attribuita prevalentemente alla contrazione dell’area del getto all’uscita dall’ugello rispetto ad .
Il lieve decremento del coefficiente A deriva principalmente dalla modesta attenuazione della velocità di efflusso dovuta alla viscosità del liquido.

[pascal]

Nel problema 1.2, l'angolo può risultare uguale a ?

[CoNVeRGe.]

Nel problema 1.2, l'angolo può risultare uguale a ?

Credo di si, io li ho considerati uguali per una semplice simmetria del percorso rispetto al punto del percorso a coordinata z minima, ovvero il più vicino al vertice della cavità. Giunto in tale punto infatti davanti alla particella si ripropone un tragitto perfettamente specchiato. L'angolo di ingresso e di uscita (che la traiettoria fa con la semiretta-raggio per quel punto) risultano dunque uguali.
Quindi, siccome siamo nel topic delle soluzioni:


Non so come calcolare la velocità invece ho pensato al moto di una massa vincolata ad un'asta (quindi anche ad un pendolo) visto che la distanza della particella è sempre costante da un punto dell'asse z che è il centro della sfera che determina la cavità.

Il raggio di questa sfera mi viene
L'angolo di apertura della cavità

Però non so sfruttare quest'idea..

[pascal]

Ho scomposto la velocità di lancio nella direzione radiale e tangente alla circonferenza, ottenendo e , dove . Nella discesa la velocità diventa con componente tangente . Ma , in cui (triangolo isoscele CAB). La particella raggiunge l’altro lato della buca con velocità . La forma con l’asse x ancora l’angolo con componente tangente al bordo che si conserva nella salita. Nel punto B sopra la buca la velocità diventa con componente tangente .
Riassumendo:
. Poiché , si ha .
Per il calcolo della velocità basta applicare la conservazione dell'energia.

[pascal]

L'ultima U_A digitata deve essere intesa come V_B.

[Alex90]

1.1 Un esperimento di Fuidodinamica

Per ricavare la velocità di uscita da un foro posto ad altezza dalla superficie di un fluido possiamo più semplicemente applicare l'equazione di Bernoulli:



Quindi considerando il passaggio del fluido dall'interno del recipiente a quando esce dal foro si ha:



Dato che si ha:





e

Rimane

[Alex90]

1.1 Un esperimento di Fuidodinamica

Dal momento in cui dal foro fuoriesce un getto con velocità iniziale è possibile trattare il percorso seguito come nel caso di un moto parabolico che, considerando un sistema di riferimento cartesiano con l'asse delle ascisse coincidente con il pavimento e asse delle ordinate passante per il foro, ha equazione:



La gittata è la distanza raggiunta dalla componente orizzontale nel tempo in cui si azzera la componente verticale:



Perciò la gittata è:

[Ippo]

Chiedo: ha senso trattare il problema 1.2 come se si trattasse di ottica anziché di meccanica? (particella ---> fascio di luce, buca ---> diottro sferico) Nel caso fosse sensato sarebbe più o meno lo stesso caso trattato in un Senigallia del 2000 se non sbaglio, nel quale si dimostrava che i raggi sono focalizzati sulla superficie della sfera per n=2; a quel punto si impone , da cui
e infine
La cosa che non torna, però, è che nella buca la velocità è maggiore che all'esterno (sarebbe il mezzo "otticamente meno denso", diciamo una bolla d'aria nel vetro anziché una palla di vetro nell'aria) e quindi non dovrebbe focalizzare in quel modo. Boh, probabilmente sono tutte fesserie.

Nell'1.1 mi viene:

, che risulta imponendo la continuità del flusso e risolvendo l'equazione differenziale a variabili separabili

La retta di regressione dei dati sperimentali ha pendenza , da cui ; il diametro efficace del foro è circa il 20% inferiore al diametro reale.

Il 3.1 è nell'Halliday; per motivi di simmetria vi sono solo quattro potenziali diversi in tutto il cubo: quello all'ingresso, Vo; quello all'uscita, V3; quello nei tre vertici "vicini" all'ingresso, V1; e quello nei tre vertici "vicini" all'uscita, V2 ("vicino"= raggiungibile percorrendo un solo spigolo). Quindi il circuito è equivalente ad uno che collega quei quattro potenziali con l'opportuno numero di resistori; in particolare, 3 per passare da V0 a V1 e da V2 a V3, gli altri 6 per passare da V1 a V2. Mettendo in serie questi tre paralleli si ottiene .

per il 2 e il 3.2 non ho ancora avuto tempo

[Catacian]

Ok, propongo una soluzione per il problema della buca.
All'inizio pensavo che fosse a forma di calotta sferica, ma dopo che Pigkappa si è spiegato la soluzione è stata facile.

Allora, l'angolo di deviazione lo si ottiene sfruttando la simmetria della traiettoria.
La deviazione è quindi di 17.46°
Inoltre la velocità che la pallina acquista quando scende nella buca la fa deviare della metà della deviazione totale. (8.73°)
Quindi: la pallina arriva sul bordo con un angolo di 17.46° e viene deviato di 8.73°
La velocità acquistata in direzione di C, cioè perpendicolarmente al bordo della buca, è sqrt(2 g h).
A questo punto si possono uguagliare le componenti perpendicolari al bordo della buca, che restano le stesse.

Facendo qualche conto con i vettori (che preferisco non riportare, non so usare il LateX) la velocità (uguale all'inizio e alla fine) viene di 0.626 m/sec.
Naturalmente aspetto una conferma!