SNS 2003/2004 n 1

[AxxMan]

Ad un dato istante, da un palo verticale di altezza h vengono fatte cadere
palline di raggio trascurabile e masse , con velocità
iniziali aventi ugual modulo e direzioni distribuite su
tutto l’angolo solido. Trascurando l’attrito dell’aria, si dimostri che fino
a quando una di esse non tocca il suolo si trovano tutte disposte sulla
superficie di una sfera, e si calcolino in funzione del tempo il centro ed
il raggio di tale sfera. Si determini la massima distanza l dal piede del
palo a cui una pallina può arrivare al suolo nei due casi limite
e dove è l’accelerazione di gravità, e nel caso generale.
Idee furbe per il caso generale?

[Incomplete93]

Per caso - dico, per caso - il centro ha coordinate e il raggio è ?

P.S: da dove viene fuori questo problema?? XD Nei testi dei problemi della SNS non l'ho trovato..

[AxxMan]

Sisi è giusto Hai cercato tra quelli di fisica? Vedi se riesci ad arrivare in fondo, perchè a me veniva una disequazione brutta quando l'ho fatto

[Incomplete93]

(Ho cercato tra fisica e biologia XD) comunque ehm...io per il primo punto le masse non le ho utilizzate...ora ragiono sul secondo...spero che non si voglia che si considerino le interaizioni gravitazionali dopo che la sfera si deforma! (Fintanto che tutte le masse sono sulla superficie sferica il problema non sussiste...) Vediamo che tiro fuori...

[AxxMan]

Lascia stare le interazioni gravitazionali, siamo sulla terra con g fissa, perciò credo sia davvero poco realistico supporre che vi siano masse in grado di dare accelerazioni significative, a meno che tu non abbia delle palline di In effetti il problema era dell'anno prima, ho sbagliato a scrivere

[Incomplete93]

Ehm...allora...ho fatto un ragionamento assurdo per non fare troppi calcoli e mi è venuto un risultato strano...boh...vediamo se riesco a scriverlo (considerando che con il Latex sto improvvisando non conoscendolo). Ho trovato che la massima distanza alla quale una pallina può arrivare vale, nel caso generale

I casi generali si ricavano da qua - se è giusta...quindi se allora , se invece allora si calcola semplificando sempre al primo ordine.
Il parere dell'esperto?? XD

[Incomplete93]

Ah, e scusami, perché dubiti del fatto che io abbia palline da ? questo fa l'invidia u.ù ammetti!

[AxxMan]

Mi viene diverso... Hai lavorato anche tu con il teorema di Pitagora?

[Incomplete93]

Ya...ma ho fatto un ragionamento strano partendo dai risultati del punto precedente...tu che risultato trovi?
Il mio ragionamento è stato questo. Le particelle, come dimostrato, si dispongono su una superficie sferica - che rimane sferica sino a che le particelle lanciate verticalmente verso il basso non toccano terra. Da quel momento in poi, le palline ancora in aria si trovano su di una calotta sferica, quelle che raggiungono man mano il suolo si depositano lì. Allora consideriamo che il suolo il centro della sfera - o della calotta che rimane, poco cambia - si trovi ad un'altezza dal suolo. Limitiamoci a lavorare su un piano, data la simmetria cilindrica rispetto all'asta da cui sono lanciate le palline - le quali intersecano un piano qualsiasi passante per l'asta su di una circonferenza. Se questa circonferenza ha intersezioni con la retta che rappresenta il suolo, le masse che si trovano in quei punti si depositano. La distanza alle quali si depositano sono date, per il teorema di Pitagora, da , e vale, dal punto prima, ...sostituendo e massimizzando la funzione troviamo - a meno di calcoli sbagliati - il mio risultato di prima...
Se il ragionamento è giusto, si evitano tonnellate di calcoli, credo - quelli del tipo scrivere l'equazione della parabola del tipo e intersecarla con l'asse ...

[AxxMan]

la pallina che tocca è il suolo è a distanza dal centro, che si trova a ordinata per il teorema di pitagora la distanza dal piede del palo è e derivando e massimizzando risulta che dà
Avevo visto male, è la stessa cosa scritta diversamente