Contenitore vuoto con apertura

[AxxMan]

Un contenitore in cui è stato ottenuto un vuoto spinto viene posto a contatto con una superficie liscia. Successivamente viene praticato un forellino su una delle pareti laterali del contenitore in modo che l'aria possa entrarvi. Descrivere il moto del contenitore.

Si può fare in modo rigoroso ma abbastanza elementare?

[floppino81892]

Non so se è giusto. Visto che nel contenitore c è il vuoto, avviene una espansione libera, che non può compiere lavoro sulle pareti del contenitore. Inoltre nei punti diametralmente opposti a quelli dove si trova il forellino vi sarà una forza causata dalla pressione atmosferica che non sarà "controbilanciata", quindi il contenitore si muove nel verso "contrario" a quello in cui entra l'aria.

Se mi dici che è giusto provo a calcolarlo in maniera quantitativa

[AxxMan]

Ok. Un altro modo per arrivarci era utilizzando la conservazione della quantità di moto del sistema, che deve rimanere nulla. Considerando gli urti con le pareti elastici, allora credo che ad un certo punto il contenitore debba essere frenato. E non è irragionevole perchè se il cubo si muove comprime l'aria allinterno mentre si allontana da quella all'esterno e quindi si crea un gradiente di pressione finchè il contenitore non si ferma

[balossino]

Anch'io avevo pensato a questa risposta, però mi sembrava incompleta perché non abbiamo determinato il grafico dello spostamento in funzione del tempo... non c'è un modo per determinarlo?

[andreaandrea]

Provo a risolverlo.

Siano
l'ampiezza del foro,
la massa di una mole d'aria,
il volume della cavità in cui è ottenuto il vuoto
la massa del corpo
la velocità del corpo
la densità dell'aria
la densità dell'aria all'interno della cavità
il numero di moli contenute nella cavità

la velocità quadratica media.


Assumendo che la temperatura assoluta sia costante, anche è costante.

Se il corpo fosse sempre fermo in una frazione infinitesima di tempo la variazione delle moli contenute nella cavità sarebbe



questo corrisponde al numero di moli contenute nel cilindretto di area di base ed altezza che entra a causa della pressione esterna meno il numero di moli contenute nel cilindretto delle stesse dimensioni, che esce a causa della pressione interna.
Il fattore è dovuto al fatto che assumo che le molecole si muovano con la stessa probabilità lungo le tre direzione ortogonali. inoltre solo un verso della direzione parallela al piano liscio fa sì che le molecole esterne entrino o viceversa che le molecole interne escano.

Assumiamo ora che il corpo sia in movimento, con velocità . Assumiamo che in un istante infinitesimo tale velocità sia costante. Ecco allora che l'equazione sopra scritta diviene:



ma

Da cui, con un po' di algebra:



raccogliendo al denominatore del primo membro il fattore ed integrando entrambi i membri, ottengo, con costante di integrazione:



da cui (1)



con

Per segue quindi, sostituendo nella (1)



Da cui


applichiamo ora la conservazione della quantità di moto. Assumiamo che la quantità di moto sia positiva se ha verso uguale al verso in cui si muove il corpo, negativa se ha verso uguale al verso in cui entra l'aria.
In una frazione infinitesima di tempo sia l'incremento di velocità del corpo, di massa . La quantità di moto del corpo aumenta di . Allo stesso tempo, ipotizzando tutti gli urti elastici, moli rimbalzano contro la parete opposta a quella su cui è praticato il foro e invertono il verso della loro velocità.

ecco allora che possiamo scrivere:



Da cui:



ricavando n e sostituendo nella (1), con un po' di algebra ottengo:



suppongo ragionevolmente che e che quindi

Ecco allora che capiamo che la velocità v è sempre crescente e che tende a divenire costante.
per

Integrando la velocità rispetto al tempo, ottengo lo spazio percorso , con c costante di integrazione:



Per abbiamo da cui

Che ne dite, vi sembra corretto ? datemi un parere.

[andreaandrea]

Nessuno riesce a dirmi se quello che ho scritto gli torna, o se quando l'ho scritto sono stato colto da un attacco di follia ???

a parte gli scherzi, grazie mille a tutti