Punti lagrangiani.

[Pigkappa]

Il problema dei tre corpi ristretto circolare consiste nello studio del moto di un corpo puntiforme di massa in presenza dell'attrazione gravitazionale di due corpi puntiformi di massa e , facendo le seguenti ipotesi:

1) e ; il moto dei due corpi di grande massa non è quindi influenzato dalla posizione di .
2) ed descrivono un'orbita circolare intorno al loro centro di massa.

Nel sistema di riferimento rotante intorno al centro di massa del sistema, in cui ed sono fermi, ci sono alcuni punti, che si chiamano punti lagrangiani e si indicano con , , (e così via), che sono punti di equilibrio per la massa ; ovvero, se la massa si trova in uno di tali punti ed è ferma, vi resterà indefinitamente.

Determinare la posizione di tutti punti lagrangiani del sistema. Per quelli che si trovano sulla retta che congiunge ed è sufficiente dare un'equazione implicita (ma scritta in un modo semplice) che ne determini la posizione.


Nota: è un problema istruttivo perchè se si impostano i conti bovinamente, poi bisogna inventarsi un qualche trucco per venirne a capo. Invece il modo furbo di farli fin dall'inizio è difficile da trovare.

Domanda bonus (straimpossibile): determinare se si tratta di punti di equilibrio stabile o instabile.

Quando ci sarete riusciti (o almeno ci avrete provato parecchio) vi dirò dove si trova la soluzione e la spiegazione del perchè sono importanti.

[AxxMan]

Inizio con quelli sulla congiungente. Nel sistema di riferimento scelto su agisce una forza centrifuga diretta verso il centro di massa degli altri due corpi. La sommatoria della forza centrifuga e delle attrazioni gravitazionali deve essere zero. E' necessario trovare la velocità angolare dei due corpi; fisso un sistema di riferimento con origine in , in cui l'ascissa del cdm è dove è la distanza tra i due corpi. Allora, considerando il moto di , da cui . Se ha ascissa , per l'equilibrio da cui Non so se è abbastanza semplice, comunque per il resto ho provato ad attaccare sia con coordinate polari che cartesiane ma viene un bel po' complesso... Per l'ultimo punto se si potesse trovare un'espressione dell'energia potenziale in due variabili magari facendo le derivate parziali e studiando il sengo si può vedere quali sono i minimi e quali i massimi di energia potenziale

[Pigkappa]

La parte sulla posizione dei punti sulla congiungente è giusta. Se vuoi, puoi provare a farti un'idea di dove si trovino questi punti nel caso .

Adesso prova a fare quelli che non sono sulla congiungente, che sono molto più interessanti e che si possono trovare senza dover fare approssimazioni e senza lasciare equazioni implicite.

Per l'ultimo punto se si potesse trovare un'espressione dell'energia potenziale in due variabili magari facendo le derivate parziali e studiando il sengo si può vedere quali sono i minimi e quali i massimi di energia potenziale

Questo metodo invece è sbagliato (anche se di solito funziona). Per ora non dico perchè .

[AxxMan]

Facciamoci il nostro bel disegnino in modo con la congiungente centro di massa e corpo in orizzontale. Siano e le distanze delle masse dal centro di massa. Il loro rapporto nell'ordine è .Se è l'angolo che il segmento forma con l'orizzontale, e e gli angoli tra le direzioni della forza e l'orizzontale, per il teorema dei seni e sfruttando , e , mentre affinchè la forza sia diretta solo sull'orizzontale . Sostituendo viene ! Ora vedo come trovare la posizione sull'asse

[AxxMan]

Sfruttiamo il triangolo isoscele denotando con gli angoli alla base, mentre è la distanza di dal centro di massa. Notiamo che . Per osservazioni geometriche . Sostituendo viene e considerando che per la geometria del triangolo isoscele , abbiamo la soluzione cioè i punti lagrangiani sono i rimanenti vertici di triangoli equilateri che hanno per base la congiungente delle masse

[Pigkappa]

- Perchè hai affrontato il problema solo sul piano in cui ruotano i due corpi e non nello spazio?

- Perchè, nel caso dei punti lungo la congiungente in cui hai fatto i conti nel sistema rotante, non hai considerato la forza di Coriolis?

[AxxMan]

Ci sarebbe sempre una componente della forza agente su perpendicolare al piano su cui ruotano le masse, quindi non sarebbe fissa nel sistema non inerziale scelto. Poichè è fissa, non è soggetta a forze di Coriolis

[Pigkappa]

Ok, giusto. Se però si muove, è soggetta a forze di Coriolis.

Per questo non possiamo semplicemente trovare il minimo del potenziale per determinare i punti di equilibrio.
Per vedere se un corpo è in equilibrio stabile bisogna calcolare la forza a cui è soggetto quando si sposta leggermente dalla posizione di equilibrio, e quindi bisogna anche considerare la forza di Coriolis, che non può essere descritta da un potenziale.
Scrivendo quindi la forza esplicitamente, si ottiene un conto piuttosto faticoso da fare che lascerei perdere. Risulta che i punti sulla congiungente delle due masse sono di equilibrio instabile, mentre quelli con cui esse formano un triangolo equilatero sono di equilibrio stabile se (circa). Se si va a vedere il sistema Sole-Giove, ci sono dei satelliti (chiamati greci e troiani perchè rimangono sempre lontani tra loro) che rimangono vicini a questi punti lagrangiani.

Se andate alla lezione 6 della parte 3 delle "Lezioni di astronomia" a http://www.df.unipi.it/~penco/Astronomi ... _astr.html trovate una spiegazione più dettagliata di queste cose.