Applicazione teorema limite centrale

[Stardust]

Mi è stato proposto questo esercizio a voce, forse manca qualche informazione nella traccia.

Una ridente cittadina è formata da abitazioni rifornite di corrente da una centrale elettrica. In un dato momento, ciascuna abitazione starà consumando una quantità di corrente elettrica. Tale consumo è una variabile aleatoria, la cui funzione di distribuzione è uniforme.
L'intervallo di variabilità di x è (sarebbero kW, ma non importa in questa sede).
Calcolare la potenza che la centrale deve erogare per ridurre il rischio di black out a .

(Postato nella sezione sperimentale perchè comporta l'utilizzo di concetti statistici tipici dell'analisi dati sperimentali.)


Le idee di partenza sono:
Il consumo complessivo di energia è dato da:
dove rappresenta l'energia usata dall'i-esima casa.
Il teorema del limite centrale assicura che su un campione sufficientemente ampio di variabili aleatorie, la funzione S ha una distribuzione di probabilità gaussiana. Allora il consumo medio dell'intero villaggio è:
, con .
Perciò: .
Inoltre la varianza risulta essere la somma dei contributi delle varianze associate a ciascuna variabile:
.

Perchè la rete tenga, è necessario, nella peggiore delle ipotesi, fornire una potenza pari a , ma in tal caso la probabilità di blackout sarebbe: .
In realtà non si vuole il rischio azzerato, ma ridotto ad una probabilità comunque irrisoria.
Il teorema di Tschebyschev permette di sapere che:

Questo significa che se al posto di x si usa S, la probabilità che il consumo istantaneo dell'intero villaggio si discosti dalla media entro un 'raggio' di ampiezza è minore o ugale del reciproco del quadrato di k. Come usare questo fatto nella risoluzione del problema? (sempre che sia utile)
In realtà si ha che S è a distribuzione gaussiana, quindi il pericolo di blackout si verifica quando S si spinge verso il lato destro del grafico, ma per valutare questo serve riscalare S per avere la gaussiana standard?
Come formalizzare in termini quantitativi la probabilità di blackout?

[Stardust]

Do la soluzione del problema, che poi in realtà non è granchè complicato.
Per calcolare il rischio blackout serve visualizzare la gaussiana che descrive la distribuzione/densità di probabilità di S: in termini concreti, è la curva che indica quanto è probabile che il consumo energetico del villaggio S assuma un certo valore. Questa funzione ha un massimo in corrispondenza della media e si dispone simmetricamente rispetto all'asse passante per tale ascissa. Quindi allontanandosi dal valore centrale la curva scende.
Il problema è che la gaussiana andrebbe integrata entro un certo intervallo, da x a x', cosicchè dalla densità della probabilità su una certa superficie si ottiene la probabilità vera e propria. Ma la sua forma matematica è tale che per l'integrazione si può procedere solo per via numerica , ed esistono apposite tavole con i valori di probabilità calcolati in diverse zone della distribuzione. Nel nostro caso, ci si preoccupa del fatto che S assuma valori troppo elevati, saturando la disponibilità di potenza e facendo collassare il sistema elettrico.
Quindi si guarda alla coda destra della gaussiana, partendo da un valore x* incognito ad integrare verso .
I valori tabulati disponibili sono però calcolati su una gaussiana standardizzata, ovvero la cui variabile non è la vera e propria S in questione, ma
.
Il cambio di variabile è scelto in modo che il picco della gaussiana finisca traslato sullo 0 e la nuova varianza sia unitaria. Inoltre questa scelta fa sì che l'area sottesa al grafico sia 1. E' con questo artificio che si opera con qualunque distribuzione di Gauss.
Allora l'area che va considerata sul lembo destro della gaussiana deve valere : essa corrisponde all'integrale calcolato da
a .
Invertendo il cambio di variabile sopra esposto, si ricava che la potenza totale è
.
Dunque per ridurre la probabilità di black out a , ossia allo 0.01%, basta erogare circa 61/100 della potenza che al massimo potrebbe richiedere il villaggio.

PS: forse questo thread non è molto adatto allo stile olimpico, ma magari qualcuno che vuole approfondire potrebbe ritenerlo un esempio utile -almeno spero-.

[spn]

Il problema era interessante (anche se praticamente può capire il senso delle tue parole solo chi già si è visto qualcosa di laboratorio1 ), potevi aspettare almeno un paio di giorni prima di dare la soluzione che magari qualche giovine ci provava...