Cilindro pieno d' acqua con foro
Cilindro pieno d' acqua con foro
Sulla base di un cilindro pieno d' acqua vi è un foro di area A; l' area di base del cilindro è S mentre la sua altezza è H. Determinare in quanto tempo il cilindro si svuota completamente
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
(Se è giusto riordino e posto il procedimento
)Quando il temperamento originario prevale sulla cultura si è rozzi; quando la cultura prevale sul temperamento originario si è pedanti. Quando la cultura e temperamento si equilibrano, allora si è superiori. (Kong Qiu)
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
S/A mi viene fuori radice
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
Ehm, sì... ho pasticciato miseramente
Ecco cmq la soluzione, per i posteri:
Imposto la condizione applicando il teorema di Torricelli (V è funzione di t e il meno è dovuto alla diminuzione del volume di acqua):
Risolvo separando le variabili e impongo le condizioni al contorno:
=V_0 \Rightarrow k=0)
Riordinando il tutto (alla fine avremo V=0) ottengo:
Ecco cmq la soluzione, per i posteri:
Imposto la condizione applicando il teorema di Torricelli (V è funzione di t e il meno è dovuto alla diminuzione del volume di acqua):
Risolvo separando le variabili e impongo le condizioni al contorno:
Riordinando il tutto (alla fine avremo V=0) ottengo:
Quando il temperamento originario prevale sulla cultura si è rozzi; quando la cultura prevale sul temperamento originario si è pedanti. Quando la cultura e temperamento si equilibrano, allora si è superiori. (Kong Qiu)
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
per A=S il tempo trovato è esattamente quello necessario affinchè un corpo in caduta libera percorra un tratto H;
Immaginiamo ora di tagliare a metà un cono ( di area di base S e altezza H ) con un piano parallelo alla sua base ; il tronco di cono è inizialmente pieno d' acqua e la sua base maggiore è rivolta verso l' alto. Determinare in quanto tempo il tronco di cono si svuota completamente
Immaginiamo ora di tagliare a metà un cono ( di area di base S e altezza H ) con un piano parallelo alla sua base ; il tronco di cono è inizialmente pieno d' acqua e la sua base maggiore è rivolta verso l' alto. Determinare in quanto tempo il tronco di cono si svuota completamente
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
non capisco come ci arrivi...MrTeo ha scritto:
-
Spammowarrior
- Messaggi: 43
- Iscritto il: 26 ago 2010, 17:51
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
Gia91 ha scritto:non capisco come ci arrivi...MrTeo ha scritto:
allora, dh=dV/A
questo per pure considerazioni geometriche sul cilindro
allo stesso modo, h=(V0-V)/S
l'uguaglianza salta fuori dal citato teorema di torricelli o volendo dall'equazione di bernoulli
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
C'è una domanda bonus senza risposta. Ci provo sperando di non toppare gli integrali e sperando che i ragonamenti siano esatti. Comunque credo che ci sia un metodo più veloce perchè ho fatto parecchi contacci.
Edit: come giustamente ha fatto notare Axxman, la superficie attraverso cui l'acqua esce non è trascurabile rispetto a quella del pelo dell'acqua, per cui il mio ragionamento salta (non è vero che
).
S è l'area di base maggiore del tronco di cono,
è quindi l'area di base minore e 
l'altezza del tronco di cono. Per la legge di Torricelli l'acqua esce dall'apertura con . Ma allora in un intervallo di tempo infinitesimo 
il volume d'acqua contenuta nel cono varia di 
e vale la relazione 
.
La scrivo come
. Ora devo scrivermi 
in funzione di 
, dove è il volume d'acqua rimasto. Contando l'altezza dalla base maggiore del tronco di cono vale la relazione
^3}=\frac{V_1}{(h_1)^3})
^3 \implies V_x=V_0(1-8(\frac{h_1}{H})^3))
.
Ma^3}{H^3}))
. Il problema è risolversela in 
(che non ho fatto a mano!!) comunque salta fuori una cosa non troppo brutta: )
.
Adesso ho in : }}}=\dfrac{S}{4} \ dt)
. Devo integrare e come estremi dell'integrale ho proprio 
e 
rispettivamente il volume all'inizio e alla fine.
}}}=\int \dfrac{S}{4} \ dt \implies \frac{16}{5}V_0\sqrt{\dfrac{1}{gH}}=\frac{S}{4} t \implies \\ \frac{16}{5}\frac{7}{24}HS\sqrt{\dfrac{1}{gH}}=\frac{S}{4} t \implies t=\frac{56}{15}\sqrt{\frac{H}{g}}>\sqrt{\frac{2H}{g}})
che è proprio il tempo in cui si svuota un cilindro di altezza H con una base aperta.
Edit: come giustamente ha fatto notare Axxman, la superficie attraverso cui l'acqua esce non è trascurabile rispetto a quella del pelo dell'acqua, per cui il mio ragionamento salta (non è vero che
S è l'area di base maggiore del tronco di cono,
La scrivo come
Ma
Adesso ho
che è proprio il tempo in cui si svuota un cilindro di altezza H con una base aperta.
Ultima modifica di egl il 18 mar 2011, 15:14, modificato 1 volta in totale.
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
Non ho letto bene, magari mi sbaglio e nel caso scusami, ma mi sa che non funziona la tua ipotesi iniziale, perchè l'apertura inferiore non è trascurabile rispetto a quella superiore, quindi non puoi supporre ferma la superficie superiore
Re: Cilindro pieno d' acqua con foro
Dovrei aver imparato delle cose che non sapevo, quindi ci riprovo, anche perchè avevo fatto degli errorini.
Penso che però è meglio se qualcuno controlla le idee che ci sono dietro e magari conferma se sono esatte o meno
Innanzitutto mi calcolo la velocità con cui l'acqua esce dall'apertura in funzione dell'altezza dell'acqua. Bernoulli e l'equazione di continuità danno (applicate al pelo dell'acqua e all'uscita):
^2}})
.
Ho quindi)
. Posso dire che dt)
. Trasformo in )
dove è il volume di acqua rimanente. Per la geometria del sistema avrò che ( è il volume del cono non tagliato, cioè del cono intero) ^3})
. Facendo radici cubiche e un paio di passaggi avrò )
.
Dall'equazione di prima}{1-(\frac{A_2}{A_1})^2}}}=A_2dt)
. Devo integrare e il volume d'acqua varia da 
a 0. Per cui avrò
}{1-(\frac{A_2}{A_1})^2}}}=\int_0^t A_2 dt)
che fatto con Derive 
porta a ^2}{gH}}=A_2t \implies t=\frac{7}{\sqrt{15}}\sqrt{\frac{H}{g}})
sapendo che il cono è tagliato a metà quindi 
e /3)
Penso che però è meglio se qualcuno controlla le idee che ci sono dietro e magari conferma se sono esatte o meno
Innanzitutto mi calcolo la velocità con cui l'acqua esce dall'apertura in funzione dell'altezza dell'acqua. Bernoulli e l'equazione di continuità danno (applicate al pelo dell'acqua e all'uscita):
Ho quindi
Dall'equazione di prima
porta a