Barche all'inseguimento.

[f.o.x]

Allora proviamo così:
Prendiamo le velocità medie lungo gli assi centrati nel punto di partenza della vedetta. Avremo quindi che e . Possiamo conoscere t poichè . Da cui ricaviamo che e .
Dato che e sono comprese tra il massimo e il minimo di e ci sarà almeno un istante in cui V avrà come componenti e , e quindi:


ma ora dobbiamo verificare che le abbia entrambe in un certo istante, perchè potrebbe averle anche prima una e poi l'altra, (e quindi non poterle comporre), o per meglio dire, cerchiamo di dimostrare che se è una componente di V allora anche è una componente di V. questo significa dire che per un certo angolo si avrà:

il seno e coseno, che ci possiamo ricavare, devono sottostare alla prima relazione fondamentale della goniometria, da cui si arriva ad un'identità che ci verifica che le componenti sono associate ad un'unico angolo e che quindi le possiamo comporre.
Tra tutti i metodi che ho provato fin ora (tutti errati) questo mi sembra il più improbabile e per questo lo posto , anche se un discorso sui diversi sistemi di riferimento come ha fatto AxxMan potrebbe essere più proficuo

descrive una traiettoria rettilinea

Due sistemi inerziali associano ad un corpo in moto accelerato la medesima accelerazione in ogni istante, se la nave vedetta accelera rispetto ad un'osservatore sulla riva anche i contrabbandieri la vedranno muoversi con la medesima accelerazione. Quindi in un sistema di riferimento solidale con i contrabbandieri la traiettoria non sarà rettilinea, o se lo è li vedranno muoversi verso di loro con moto rettilineo accelerato, ma allora la velocità della vedetta non sarà più costante in modulo.

[Pigkappa]

Inoltre volevo chiederti se puoi esplicitare il caso b<<a. non riesco a visualizzarlo bene

Se b << a (e questo succede se la vedetta è molto più veloce dei trafficanti), la vedetta prende i trafficanti poco lontano dalla costa. Quindi sarebbe una traiettoria veramente sconveniente quella di fare un quarto di circonferenza di raggio a e poi tornare indietro verso la barca dei trafficanti. E' chiaro che la vedetta non punta sempre i trafficanti se si muove in quel modo, visto che si sta perfino allontanando da loro in certi punti della traiettoria.

Nel sistema di riferimento inerziale della barca dei trafficanti la vedetta è sempre rivolta verso la barca

No. Io non l'ho detto nel testo, ma davo per scontato che la vedetta fosse rivolta verso la barca nel sistema inerziale di qualcuno esterno che è fermo (rispetto alla costa) e guarda la situazione.
Nel sistema di riferimento della barca dei trafficanti, è come se la vedetta avesse una componente (chiamo così la velocità della vedetta) verso di lei a cui si deve sommare .

Quando risolvete un problema dovreste cercare di mettere in pratica tutti i controlli possibili per vedere se la soluzione è giusta o no: analisi dimensionale, guardare se il risultato numerico viene ragionevole, casi limite (come b << a di cui ho parlato sopra), vedere se ci sono conseguenze interessanti delle cose che avete scoperto. Ad esempio, se in questo caso fosse risultato che la vedetta si muove di moto rettilineo uniforme nel sistema della barca dei trafficanti, è facile vedere che si sarebbe mossa di moto rettilineo uniforme anche nel sistema in cui la costa è ferma, e allora non avrebbe sempre puntato verso i trafficanti.

il seno e coseno, che ci possiamo ricavare, devono sottostare alla prima relazione fondamentale della goniometria, da cui si arriva ad un'identità che ci verifica che le componenti sono associate ad un'unico angolo e che quindi le possiamo comporre.

No, c'è un errore (molto sottile) da queste parti. Non è vero che se e sono la media di e .

Trovare un controesempio è un po' faticoso; però c'è un modo semplice, anche stavolta, per vedere che la tua soluzione non funziona. Tu non hai usato da nessuna parte l'informazione che la vedetta punta sempre verso la barca; se provi a seguire il tuo ragionamento, vedi che dovrebbe funzionare per ogni traiettoria possibile della barca.

[Pigkappa]

Se nessuno prova più a risolverlo, entro un paio di giorni posto la soluzione.

Riguardo a quanto si è detto finora, la traiettoria si può scrivere analiticamente, ma è complicato. Con un po' di astuzia, si può trasformare questo problema in modo che sia molto simile al problema 1.7 di http://www.df.unipi.it/~cella/ueg/uegbook.pdf .
Nel link è spiegata anche la soluzione, che per voi potrebbe essere troppo complicata. La forma della traiettoria, inoltre, è piuttosto sgradevole.

[Sillo]

Provando a disegnare la curva su un foglio di carta millimetrata ho notato che l'angolo che indica la direzione della barca inseguitrice è proporzionale alla sua posizione,in pratica consideriamo il percorso della barca in fuga come l'asse x,quando la proiezione su tale asse del punto in cui si trova la barca inseguitrice è b/n l'angolo che definisce la sua direzione istantanea è pigreco*(1-b/n)/2
(scusate se non uso il latex ma ho appena cominciato a studiarlo)

Non riesco a dimostrare questo,e non so nemmeno se l'intuizione è giustificabile in qualche modo,ma dando per giusta questa idea si può considerare la curva come una trisettrice di Ippia e quindi ottenere che la velocità degli inseguitori è Vi=V*2a/(pigreco*b)

[Pigkappa]

La risposta è:




Che la risposta di Sillo sia sbagliata lo si può capire vedendo che, con quella formula, non è sicuro che sia , mentre è ovvio che deve esserlo.

Prima di postare la soluzione (che in effetti è un po' impensabile, anche se semplice), vi lascio ancora tempo per pensarci...

[pascal]

Espongo questa soluzione per rinfrescare il latex, scusate.

Sistema di assi cartesiani:
origine nella posizione iniziale della polizia, asse x parallelo alla spiaggia verso nord, asse y perpendicolare alla spiaggia verso il mare.

Se ds e sono gli spazi infinitesimi della polizia e dei trafficanti alle velocità w e v rispettivamente, si ha:



L’equazione della tangente alla traiettoria della polizia in P(x,y) è:

da cui si ottiene che posta in (1) fornisce



dove k = v/w e .

Senza scomodare le funzioni iperboliche, si può verificare che la (2) è soddisfatta da



Poi si calcola con integrali di potenze:



Quindi

Pertanto

[pascal]

Scusate per il refuso:
il dx della (2) appartiene all'espressione precedente di .

[Pigkappa]

Spiego un'altra soluzione, più corta ed elementare di quella di Pascal (ma piuttosto difficile da trovare).

Chiamiamo r la distanza tra le barche, w la velocità della vedetta, v dei contrabbandieri; chiamiamo la posizione dei contrabbandieri e della vedetta. Chiamiamo s la retta che passa per B ed è perpendicolare alla costa, l'angolo tra s e ; l'istante della partenza è 0 e l'istante di arrivo è . Mettiamo l'asse x perpendicolare alla costa in modo che i contrabbandieri si muovano lungo l'asse x.

Allora se fate un disegno e scomponete le velocità a dovere, si trova . Integrando questa espressione tra 0 e T si deve trovare (distanza finale, cioè 0, meno distanza iniziale, cioè ). L'integrale di è ovviamente . L'integrale di si può fare perchè sappiamo che l'integrale di deve fare b.

Da questo viene un'equazione di secondo grado per che dà il risultato postato sopra.

[pascal]

Bella semplificazione per il calcolo di w.