Ancora resistenze (in successione)

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 29 dic 2009, 23:05

Come resistenza $R_{AB}$ si intende quella dell'intera griglia e come $R_{CD}$ quella del resto della griglia, la rete "dietro" i punti C e D?

pascal ha scritto:Poiché $\Phi>1$ e $\mid 1/\Phi-1 \mid<1$ , puoi trovare l’identità $\beta_\infty=\Phi$ nel punto in cui hai posto $\Phi$ in evidenza.

Perché non calcoli $\Phi$ dall’equazione $1/\Phi=\Phi-1$ ?

Il valore di $\phi$ è già noto ed è la soluzione positiva dell'equazione di secondo grado
$x^2-x-1=0$ .
Come mai tanta enfasi su queste considerazioni?

Senior · Messaggio da **Senior** » 30 dic 2009, 0:05

Allego un file con il calcolo del limite all'infinito del rapporto tra due termini consecutivi della successione di Fibonacci.
Ne approfitto per augurare a tutti Buon 2010!

pascal · Messaggio da **pascal** » 30 dic 2009, 0:16

Stardust ha scritto:Come resistenza $R_{AB}$ si intende quella dell'intera griglia e come $R_{CD}$ quella del resto della griglia, la rete "dietro" i punti C e D?

Esatto

Stardust ha scritto:Il valore di $\phi$ è già noto ed è la soluzione positiva dell'equazione di secondo grado
$x^2-x-1=0$ .
Come mai tanta enfasi su queste considerazioni?

Evidentemente per te era già implicita la relazione $\frac {F_n}{F_{n-1}}=\frac {F_{n-1}+F_{n-2}}{F_{n-1}}=1+\frac {F_{n-2}}{F_{n-1}}$ che al limite diventa $\Phi=1+1/\Phi$ da cui $\Phi=\frac{\sqrt {5}+1}{2}$ .

Gauss91 · Messaggio da **Gauss91** » 30 dic 2009, 1:11

Sì ok ma per tutto questo c'è Olimat!

Sembrerebbe quasi off topic: nessuno ha dato ancora una soluzione al problema, nessuna dimostrazione che il risultato è effettivamente $\phi$ . Ciò che è stato detto è solo che, se effettivamente le resistenze variano come i rapporti di termini consecutivi della successione di Fibonacci, allora il risultato è $\phi$ . Ma il fatto che le resistenze abbiano quel valore, ancora è indimostrato e può anche essere falso.

Messaggio da **Rigel** » 30 dic 2009, 17:37

Gauss91 ha scritto: nessuno ha dato ancora una soluzione al problema, nessuna dimostrazione che il risultato è effettivamente $\phi$

Come ha detto Pascal

pascal ha scritto:Evidentemente per te era già implicita la relazione $\frac {F_n}{F_{n-1}}=\frac {F_{n-1}+F_{n-2}}{F_{n-1}}=1+\frac {F_{n-2}}{F_{n-1}}$ che al limite diventa $\Phi=1+1/\Phi$ da cui $\Phi=\frac{\sqrt {5}+1}{2}$ .

questo si ha trattando $\phi$ come un'incognita di cui si deve determinare il valore e considerando che se il rapporto converge ad un valore, allora per n molto grandi esso non varia più e quindi $\frac {F_n}{F_{n-1}}=\frac {F_{n-1}}{F_{n-2}}=\phi$
spero che con questo sia chiarito ogni dubbio sul fatto che il limite cercato è $\frac{\sqrt {5}+1}{2}$ , fatto che tra l'altro è anche abbastanza noto

Gauss91 · Messaggio da **Gauss91** » 30 dic 2009, 18:46

No dunque, io non ho visto nessuna soluzione al problema.
Non so se mi spiego, ma tutto quello che si è dimostrato è che quella successione converge a $\phi$ (fatto, come detto da Rigel, abbastanza noto). Ma nessuno ha dimostrato che effettivamente LE RESISTENZE del problema originario variano come quella successione!
Il concetto di limite penso che sia chiaro a tutti, ma il problema non è questo (come ho detto, per questo c'è Olimat

); il punto è che nessuno ha dato, ancora, una soluzione al problema.
Io potevo anche dire che i coefficienti delle resistenze variano come un altro tipo di successione, e trovare un nuovo limite e una nuova soluzione del problema! Certo, facendo i calcoli bruti, essi SUGGERISCONO di provare a dimostrare che le resistenze varino come la successione di Fibonacci, ma ancora questo non è stato fatto.
Spero di essere stato chiaro.

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 30 dic 2009, 22:20

Spero di soddisfare la sete di soluzioni di Gauss91...

Allora il ragionamento più breve è considerare una resistenza complessiva $R_{CD}=\beta_{\infty} R$ , in cui si contempla tutta l'infinita griglia
retrostante. Poi si mette tra C e D un'altra resistenza R in parallelo al resto della griglia,
a sua volta il nuovo insieme è collegato in serie ad un'altra R, così da avere la resistenza complessiva tra A e B $R_{AB}$ .
Come faceva notare Ippo questo cambiamento non influisce in modo percepibile sulla configurazione precedente (già infinta), per cui si può porre
$R_{AB}=R_{CD}$ , così da avere:

$R+{\frac{1}{{\frac{1}{R}}+{\frac{1}{\beta_{\infty}R}}}}=\beta_{\infty}R$ .

Si arriva con alcune semplificazioni alla formula:
$R(\frac{2\beta_{\infty}+1}{\beta_{\infty}+1})=R(\beta_{\infty})$ .

Da ciò si passa a:
${\beta_{\infty}}^2-\beta_{\infty}-1=0$ .

Quest'equazione ha come soluzioni:
$\beta_{{\infty}1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$ (questo è proprio il numero di Fidia)
$\beta_{{\infty}2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\Phi$ (questo è l'inverso del cosiddetto numero argenteo, che vale $\Phi=1/{\phi}$ ).
Ovviamente queste soluzioni sono accettabili entrambe solo da un punto di vista puramente matematico,
ma $\beta_{{\infty}2}$ è negativa, il che la rende non valida nel senso fisico della discussione.

Per quel che riguarda la dimostrazione del limite del rapporto tra due numeri successivi della serie di Fibonacci per n che tende a infinito, pubblico di seguito le mie considerazioni.
$\beta_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\phi^n-(1-\phi)^n}{\phi^{n-1}-(1-\phi)^{n-1}}}$

Usando la relazione $1/\phi=\phi-1$ si riduce tutto a:
$\beta_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\phi^n-(-\frac{1}{\phi})^n}{{\phi}^{n-1}-(-\frac{1}{\phi})^{n-1}}}$ .
Per un maggiore rigore a questo punto mi sembra giusto considerarare cosa accade se

a) n è pari e quindi n-1 è invece dispari e si ha:
$(-\frac{1}{\phi})^n=\frac{1}{\phi^n}$ ,
$(-\frac{1}{\phi})^{n-1}=-\frac{1}{\phi^{n-1}}$ ;

b) n è dispari e quindi n-1 è invece pari e si ottiene:
$(-\frac{1}{\phi})^n=-\frac{1}{\phi^n}$ ,
$(-\frac{1}{\phi})^{n-1}=\frac{1}{\phi^{n-1}}$ .

Si tratta di due situazioni diverse che io ho affrontato separatamente.

CASO a) con n pari

$\beta_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\phi^n-\phi^{-n}}{\phi^{n-1}+{\frac{1}{{\phi}^{n-1}}}}$ .

Estraendo $1/\phi^n$ al numeratore e al denominatore, si arriva alla formula:

$\beta_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\phi^{2n}-1}{\phi^{2n-2}+1}}{\frac{1}{\phi}}$ .

Infine si ha:

$\beta_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1-(\phi)^{-2n}}{\phi^{-2}+\phi^{-2n}}}{\frac{1}{\phi}}=\phi$ .

CASO b) con n dispari

$\beta_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\phi^n+{\phi}^{-n}}{\phi^{n-1}-{\frac{1}{{\phi}^{n-1}}}}$ .

Si estrae ancora $1/\phi^n$ ottenendo:

$\beta_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\phi^{2n}+1}{\phi^{2n-2}-1}}{\frac{1}{\phi}}$ .

In conclusione anche in questo caso si ha:

$\beta_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1+(\phi)^{-2n}}{\phi^{-2}-\phi^{-2n}}}{\frac{1}{\phi}}=\phi$ .

Ciò dimostra che comunque $\beta_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{F_n}{F_{n-1}}}=\phi$ e mi fa pensare che la scissione della dimostrazione in due parti, a seconda che n sia dispari o pari, sia stata in qualche modo superflua.
Comunque la matematica non è prerogativa unicamente dei "cugini" del forum OliMat!

Gauss91 · Messaggio da **Gauss91** » 30 dic 2009, 23:07

Ooooh finalmente!

Certamente non c'è solo su Olimat, ma era per far capire che secondo me si andava un po' troppo "per la tangente"! Dato che era diventato un thread sul calcolo di $\phi$ come limite di quella successione!

Gia91 · Messaggio da **Gia91** » 8 set 2010, 17:51

Riesumo questo problema che è effettivamente un SSC. Lo riesumo per come era stato originariamente proposto.
La griglia è strutturata in quel modo ma in ogni "quadrato" c'è un'altra resistenza nel lato inferiore. (tra B e D, tra D ed F ecc.)

Iuppiter · Messaggio da **Iuppiter** » 12 set 2010, 19:35

Dopo aver analizzato i primi casi a mano, mi risulta che $\displaystyle R_{n}= \frac{3R_{n-1} + 2} {R_{n-1} + 1}$

Però non riesco a trovare il limite di questa funzione, e quindi non so concludere.

Ancora resistenze (in successione)

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