Stelle su triangolo equilatero

[Gia91]

Tre stelle identiche di massa stanno ai vertici di un triangolo equilatero di lato . Che velocità devono avere se si muovono tutte sotto la reciproca influenza gravitazionale su un orbita circolare che circoscrive, mantenendolo sempre uguale, il triangolo equilatero?

Non capisco perchè nella mia soluzione mi ritrovo un 3 di troppo rispetto alla soluzione dell'Halliday....

[Mirko93]

Le stelle girano intorno al centro di massa del sistema, che è il baricentro del triangolo. Il raggio è quindi

La componente radiale della forza gravitazionale totale agente su una stella è

Uguagliando forza centrifuga e forza centripeta si ha

Da cui

[Gauss91]

Le stelle si muoveranno attorno al centro di massa del sistema che per un noto teorema di geometria è anche il circocentro del triangolo equilatero.
Il raggio di ogni orbita è quindi
.
La forza centripeta su ogni stella è data dalla componente dell'attrazione delle altre due stelle verso il c.m. Quindi
e uguagliando alla forza centrifuga e dopo un po' di passaggi si ottiene
. Coincide?

EDIT: anticipato

[Gia91]

Mamma che errore madornale! Concettualmente il problema l'ho impostato correttamente ma nel calcolare le componenti della forza gravitazionale che bilanciano quella centripeta ho messo come distanza tra le stelle e non L ...
Pardon!

[Luke]

Questo problema è molto simile ad un SNS, anche se con meno richieste; precisamente 1995/1996 numero 3.... nei residui cache dell'oliforum di matematica ci sono un paio di post al riguardo con le soluzioni, (tra l'altro anche per il caso generalizzato che chiedevi nell'altro post).
Rosico sempre di più per non aver potuto rimediare questo famigerato halliday -.-.