Urto tra disco e parete

egl · Messaggio da **egl** » 23 giu 2010, 12:04

Sulla scia di un vecchio topic, propongo questa piccola variante. A me esce un risultato ma vorrei confrontarlo con i vostri.

Abbiamo un disco di raggio $r$ che, poggiato su un piano senza attrito, ruota con velocità angolare $\omega_0$ mentre allo stesso tempo avanza con velocità $v_0$ . Sia $\omega_0 > \frac{v_0}{r}$ . Il disco si muove verso una parete con un angolo di $30 \textdegree$ rispetto alla perpendicolare alla parete. Quando il disco urta la parete c'è attrito dinamico. Sapendo che il disco riparte esattamente lungo la normale alla parete in quel punto, determinare l' $\omega_f$ che avrà tale disco.

Bertal · Messaggio da **Bertal** » 24 giu 2010, 11:06

Salve, mi presento come primo messaggio, sono Bertal di 2° liceo scientifico, e mi diletto nel problem solving, frequento da tempo questo forum ma solo ora ho deciso di iscrivermi e partecipare attivamente.
La mia soluzione al problema è questa:

$\displaystyle{\omega_f=\omega_0 - \frac{V_0}{r}}$

egl · Messaggio da **egl** » 24 giu 2010, 11:37

Ok, anche a me viene quel risultato. Mi farebbe piacere sapere come hai ragionato.

f.o.x · Messaggio da **f.o.x** » 29 giu 2010, 16:21

Vabbè visto che nessuno posta più qui scrivo io.
Questo è il procedimento che ho usato:

$\tau= I \alpha \Rightarrow \alpha= \frac {R \vec F_a} I \Rightarrow \frac {\omega_f-\omega_o} t = \frac {R \vec F_a} I$

$\Delta \vec p = \vec J = \vec F_a t$

per l'asse x (parallelo alla superficie della parete, nel verso di $v_{o,x}$ ) si ha:
$mv_o \sin \theta= F_a t \Rightarrow t= \frac {mv_o \sin \theta}{ F_a}$

$\frac {(\omega_f - \omega_o)F_a}{mv_o \sin \theta}=\frac {R F_a} I \Rightarrow \omega_f - \omega_o = \frac {Rmv_o \sin \theta} {1/2mR^2} \Rightarrow \omega_f = \omega_o-\frac {v_o}{R}$

Messaggio da **Ippo** » 29 giu 2010, 17:54

Ok, l'idea è corretta; solo una cosa: usa gli impulsi nella forma più "generica". Non puoi (e non ti serve) supporre che la reazione normale e quindi la forza d'attrito dinamico abbiano un valore costante per tutto l'intervallo di tempo in cui agiscono (lo fai quando scrivi $\Delta \vec p = \vec{F}_a \Delta t$ e $\Delta \omega = R F_a\Delta t/I$ ).
Ti basta, detto $\displaystyle \vec J=\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\vec{F}_a(t)dt$ , scrivere $\Delta \vec p=\vec J$ e $\Delta \vec \omega=\vec R \times \vec J/I$ e sostituire (il modulo del prodotto vettoriale tanto è il prodotto dei moduli essendo R e J ortogonali).
Attenzione anche a distinguere equazioni scalari da equazioni vettoriali, nella prima equazione mescoli le cose e ottieni una cosa che a rigore non ha senso, anche se è chiaro cosa intendi.

egl · Messaggio da **egl** » 29 giu 2010, 21:36

Il procedimento che ho usato è analogo a quello di f.o.x.

@f.o.x. Nell'ultimo passaggio non dovrebbe venirti $\omega_f=\omega_0 \ \textbf{+} \ \frac {v_0}{r}$ ?

A me viene $\omega_f=\omega_0 \ \textbf{-} \ \frac {v_0}{r}$ perchè ho considerato il $\Delta\omega$ negativo.

f.o.x · Messaggio da **f.o.x** » 30 giu 2010, 10:32

Nell'ultimo passaggio non dovrebbe venirti $\omega_f=\omega_0 \ \textbf{+} \ \frac {v_0}{r}$ ?

A me viene $\omega_f=\omega_0 \ \textbf{-} \ \frac {v_0}{r}$ perchè ho considerato il $\Delta\omega$ negativo.

Mi viene negativo perchè (considerato l'asse x) $\Delta p = p_f - p_o= -p_o$ dato che alla fine la quantità di moto lungo quet'asse è nulla.

solo una cosa: usa gli impulsi nella forma più "generica". Non puoi (e non ti serve) supporre che la reazione normale e quindi la forza d'attrito dinamico abbiano un valore costante per tutto l'intervallo di tempo in cui agiscono (lo fai quando scrivi $\Delta \vec p = \vec{F}_a \Delta t e \Delta \omega = R F_a\Delta t/I)$ .

Mi sono dimenticato di scriverlo, ma stavo considerando la forza d'attrito media, così

$\displaystyle \vec J=\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\vec{F}_a(t)dt =\vec F_a\Delta t$ Dove per $\vec F_a$ intendo la forza media, così dovrebbe essere corretto credo.
Per la prima equazione hai proprio ragione ho fatto un casino

$\vec {\tau}= I \vec {\alpha} \Rightarrow \vec {\alpha}= \frac {R \vec F_a} I \Rightarrow \frac {\vec {\omega}_f-\vec {\omega}_o} t = \frac {R \vec F_a} I$

Così ora è un pò più formale.

Messaggio da **Ippo** » 30 giu 2010, 14:39

Ok, se usi una media integrale è giusto; se dovrai farlo in qualche gara/concorso però specificalo

Sull'equazione vettoriale che hai scritto mi dispiace scocciare ma è ancora sbagliata

si ha $\vec \tau = I \vec \alpha$ , ok, ma poi sbagli quando sostituisci $\vec \tau = R \vec F_a /I$
Infatti il momento torcente è verticale (uscente/entrante nel piano a seconda del segno) mentre la forza d'attrito è orizzontale (nel piano)
La vera relazione è $\vec \tau = \vec R \times \vec F_a /I$ , dove $\vec R$ è il vettore dal centro del disco al punto d'urto e il $\times$ indica il prodotto vettoriale, o esterno.
Ti conviene, dato che tutte le direzioni in gioco sono ovvie e R e F_a sono ortogonali, ragionare direttamente in modulo: $\tau =RF_a/I$ , e via

f.o.x · Messaggio da **f.o.x** » 30 giu 2010, 19:30

Sull'equazione vettoriale che hai scritto mi dispiace scocciare ma è ancora sbagliata

Hai ragione mea culpa

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