Problema 7:
Un contenitore sferico omogeneo dalle pareti molto sottili che contiene una certa quantità di ghiaccio (
Staffetta termodinamica
Re: Staffetta termodinamica
A quanto pare il problema non è piaciuto.. Si faceva dicendo che la probabilità di trovare una particella in una striscia di altezza 
è proporzionale al tempo che ci passa, quindi la "densità di probabilità" ad altezza è })
, e da qui si faceva il conto. Comunque, dopo abbastanza tempo il gas raggiunge l'equilibrio termodinamico, quindi il modello può avere senso fisico solo per tempi relativamente brevi e se il libero cammino medio delle particelle è 
(e forse anche in condizioni più restrittive). Ne propongo un altro:
Problema 7:
Un contenitore sferico omogeneo dalle pareti molto sottili che contiene una certa quantità di ghiaccio (
) a 0 °C viene immerso in un grande contenitore contenente un liquido a temperatura T=200 °C, temperatura che si può considerare costante per tutto il processo. Si osserva che dopo un tempo 
tutto il ghiaccio fonde. Dopo quanto tempo l'acqua inizia ad evaporare?
Problema 7:
Un contenitore sferico omogeneo dalle pareti molto sottili che contiene una certa quantità di ghiaccio (
Re: Staffetta termodinamica
La temperatura esterna è fissa, quindi alla fine il trasferimento di energia coinvolge una sorgente di partenza stabile a 
e un corpo la cui temperatura più o meno lentamente raggiunge quella esterna.
Dai dati di partenza siamo in grado di osservare:
.
Dato che sia la massa che il calore della fusione sono incogniti, si può solo ricavare il rapporto tra la potenza e la massa, definendo in pratica l'energia nell'unità di tempo per unità di massa nel corso di questo cambiamento di stato:
.
In seguito si ha un riscaldamento progressivo della massa d'acqua, finchè essa non raggiunge la temperatura di 100 °C, dove riprende un cambiamento di stato, l'evaporazione. Il problema richiede appunto di calcolare il tempo necessario perchè l'acqua inizi ad evaporare.
Ora il processo di riscaldamento si descrive con la formula:
.
In effetti il calore totale richiesto è:=200\,m\,c_s)
, ma questo non ci fornisce nessuna indicazione sull'andamento temporale della trasformazione.
Difatti il calore e la relativa potenza sono proporzionali alla differenza di temperatura tra i corpi coinvolti, quindi bisogna considerare che all'inizio (con
) l'energia è più "veloce" a riversarsi da un oggetto all'altro, mentre quando i corpi hanno ormai diminuito la loro differenza di temperatura questo trasferimento è meno rapido.
Sappiamo che:
.
Non sono sicuro, ma forse si potrebbe scrivere:
])\;\delta T)
.
Se il ragionamento è fondato allora poi basta integrare in modo definito tra 273 K e 373 K per ottenere il calore. Eppure non sono sicuro, perchè comunque non si trova traccia di riferimenti al tempo in questi passaggi. In effetti bisogna trovare il modo di espirmere il calore sia in funzione del tempo che della differenza di temperatura...
Ma non riescono a venirmi idee a questo proposito...
Qualche hint?
Dai dati di partenza siamo in grado di osservare:
Dato che sia la massa che il calore della fusione sono incogniti, si può solo ricavare il rapporto tra la potenza e la massa, definendo in pratica l'energia nell'unità di tempo per unità di massa nel corso di questo cambiamento di stato:
In seguito si ha un riscaldamento progressivo della massa d'acqua, finchè essa non raggiunge la temperatura di 100 °C, dove riprende un cambiamento di stato, l'evaporazione. Il problema richiede appunto di calcolare il tempo necessario perchè l'acqua inizi ad evaporare.
Ora il processo di riscaldamento si descrive con la formula:
In effetti il calore totale richiesto è:
Difatti il calore e la relativa potenza sono proporzionali alla differenza di temperatura tra i corpi coinvolti, quindi bisogna considerare che all'inizio (con
Sappiamo che:
Non sono sicuro, ma forse si potrebbe scrivere:
Se il ragionamento è fondato allora poi basta integrare in modo definito tra 273 K e 373 K per ottenere il calore. Eppure non sono sicuro, perchè comunque non si trova traccia di riferimenti al tempo in questi passaggi. In effetti bisogna trovare il modo di espirmere il calore sia in funzione del tempo che della differenza di temperatura...
Ma non riescono a venirmi idee a questo proposito...
Qualche hint?
In nature we do not find past, present and future as we recognise them, but an evolutionary process of change - energy never trapped for too long - life always becoming.
(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)
(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)
Re: Staffetta termodinamica
Facendo qualche ipotesi ragionevole, come dipende il calore-scambiato-per-unità-di-tempo dalle temperature?
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
Re: Staffetta termodinamica
Sicuramente il calore scambiato è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura e pure alla superficie di contatto A
Magari si potrebbe scrivere:
]})
.
Magari si potrebbe scrivere:
In nature we do not find past, present and future as we recognise them, but an evolutionary process of change - energy never trapped for too long - life always becoming.
(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)
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Re: Staffetta termodinamica
E allora non basta fare i conti..?
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
Re: Staffetta termodinamica
Il processo termodinamico che permette la crescita della temperatura dell'acqua nella
sfera da 0°C a 100°C avviene per conduzione. L'espressione del trasferimento di energia
in funzione della differenza di temperatura è:
]\;dt=kA[T_{ext}-T(t)]\;dt}.)
(Per favore lasciamo perdere che dQ non è un differenziale esatto... Ancora devo capire
che significa, quindi prendete questa imprecisione come una "licenza poetica")
Applicando questa espressione al processo di fusione si può pervenire a:
,
dove
, ovvero è la differenza tra la sorgente calda e quella fredda.
Dunque:
.
Ricordando che il calore in generale è calcolabile come:
, possiamo ricondurci alla forma differenziale che esprime
in modo più universale questo concetto:
.
Possiamo da ciò scrivere:
.
All'inizio è stata scritta la forma differenziale del calore nella conduzione, che possiamo recuperare così:
.
Eguagliando le ultime due espressioni si ha:
.
Possiamo così manipolare l'uguaglianza per trarne informazioni preziose:
.
Riscrivendo quanto sopra in forma esponenziale si ottiene:
.
Bisogna osservare adesso che, sciogliendo il valore assoluto, è indifferente considerare
il segno + o -, perchè anche in caso di errore, si può modificare il segno del
coefficiente h in modo opportuno.
Quindi abbiamo:
=T_{ext}+he^{\displaystyle{-\frac{kA}{mc_s}t }})
.
Al tempo t=0 l'acqua inizialmente ghiacciata è ancora a 0°C ossia a 273 K. Però il valore
h non cambia se si sceglie la scala Celsius o quella Kelvin.
La dimostrazione è equivalente (qui riporto quella per le temperature in °C):
=T_{ext}+h\,\,\Rightarrow \,\,h=-T_{ext}=-200)
.
Si nota che h equivale alla differenza di temperatura iniziale negativa
.
Quindi la formula diventa:
=T_{ext}-\Delta T_0e^{\displaystyle{-\frac{kA}{mc_s}t}}=T_{ext}-\Delta T_0e^{\displaystyle{-\frac{t}{\tau} }})
.
Il coefficiente che compare davanti alla variabile temporale può essere definito come
, che è stato parzialmente ricavato
all'inizio come
.
Quindi risulta
,
in cui il calore specifico dell'acqua è)
. Si osserva
giustamente che
è espressa in 1/s.
Ora possiamo finalmente rispondere alla domanda della traccia: in quanto tempo l'acqua
raggiunge i 100 °C?
Basta porre:
,
quindi:
, da cui:
.
Il valore numerico è però un po' anomalo...
@Pigkappa: il problema non è solo fare i calcoli, ma anche tradurre tutto in LaTeX... Ci ho messo buona mezz'ora.
sfera da 0°C a 100°C avviene per conduzione. L'espressione del trasferimento di energia
in funzione della differenza di temperatura è:
(Per favore lasciamo perdere che dQ non è un differenziale esatto... Ancora devo capire
che significa, quindi prendete questa imprecisione come una "licenza poetica")
Applicando questa espressione al processo di fusione si può pervenire a:
dove
Dunque:
Ricordando che il calore in generale è calcolabile come:
in modo più universale questo concetto:
Possiamo da ciò scrivere:
All'inizio è stata scritta la forma differenziale del calore nella conduzione, che possiamo recuperare così:
Eguagliando le ultime due espressioni si ha:
Possiamo così manipolare l'uguaglianza per trarne informazioni preziose:
Riscrivendo quanto sopra in forma esponenziale si ottiene:
Bisogna osservare adesso che, sciogliendo il valore assoluto, è indifferente considerare
il segno + o -, perchè anche in caso di errore, si può modificare il segno del
coefficiente h in modo opportuno.
Quindi abbiamo:
Al tempo t=0 l'acqua inizialmente ghiacciata è ancora a 0°C ossia a 273 K. Però il valore
h non cambia se si sceglie la scala Celsius o quella Kelvin.
La dimostrazione è equivalente (qui riporto quella per le temperature in °C):
Si nota che h equivale alla differenza di temperatura iniziale negativa
Quindi la formula diventa:
Il coefficiente che compare davanti alla variabile temporale può essere definito come
all'inizio come
Quindi risulta
in cui il calore specifico dell'acqua è
giustamente che
Ora possiamo finalmente rispondere alla domanda della traccia: in quanto tempo l'acqua
raggiunge i 100 °C?
Basta porre:
quindi:
Il valore numerico è però un po' anomalo...
@Pigkappa: il problema non è solo fare i calcoli, ma anche tradurre tutto in LaTeX... Ci ho messo buona mezz'ora.
In nature we do not find past, present and future as we recognise them, but an evolutionary process of change - energy never trapped for too long - life always becoming.
(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)
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Re: Staffetta termodinamica
Esce più o meno:
. Non è un po' troppo?
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(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)
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Re: Staffetta termodinamica
No, direi che hai sbagliato. In questi casi la cosa da fare è una stima semplice e grossolana per vedere più o meno cosa deve venire.
Per 1 kg di sostanza, ci vogliono circa 335000 J per sciogliere il ghiaccio e 420000 J per portare l'acqua a 100 gradi. Se la potenza assorbita nel diventare acqua è P, quella assorbita mentre l'acqua si scalda sarà in media un po' meno di P (compresa tra P e P/2 in questo caso, perchè
varia tra 200 K e 100 K), quindi ci aspettiamo che il tempo che ci vuole sia un po' più di (420/335) volte quello di prima. Perciò mi aspetterei qualcosa che assomigli a 45 minuti, non a 28 giorni.
Per 1 kg di sostanza, ci vogliono circa 335000 J per sciogliere il ghiaccio e 420000 J per portare l'acqua a 100 gradi. Se la potenza assorbita nel diventare acqua è P, quella assorbita mentre l'acqua si scalda sarà in media un po' meno di P (compresa tra P e P/2 in questo caso, perchè
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
Re: Staffetta termodinamica
Ecco l'errore:
vale 333 kJ, ma io avevo dimenticato k...
A questo punto giustamente risulta
.
Purtroppo non ho modo di proporre un altro problema per la staffetta, per favore qualcuno lo faccia al mio posto. Grazie.
A questo punto giustamente risulta
Purtroppo non ho modo di proporre un altro problema per la staffetta, per favore qualcuno lo faccia al mio posto. Grazie.
In nature we do not find past, present and future as we recognise them, but an evolutionary process of change - energy never trapped for too long - life always becoming.
(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)
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Re: Staffetta termodinamica
Classico ma insomma, è bene averlo fatto una volta nella vita.
Dato un sistema composto di n corpi, dette
la capacità termica dell'i-esimo e 
la sua temperatura iniziale,
dire qual è il massimo lavoro estraibile dal sistema.
Hint:
"massimo lavoro" <==> reversibilità <==> S=costante
Dato un sistema composto di n corpi, dette
dire qual è il massimo lavoro estraibile dal sistema.
Hint:
"massimo lavoro" <==> reversibilità <==> S=costante