Staffetta termodinamica

ciccio91 · Messaggio da **ciccio91** » 30 mag 2010, 22:58

Vado io.

Inanzitutto immagino che nel testo ci sia una condizione del tipo $T> T_1$ (con $T_1 = 373 K$ ), altrimenti l'acqua potrebbe anche essersi trasformata in ghiaccio.

Siano $Q_1$ , $Q_2$ e $Q_{Cu}$ rispettivamente il calore assorbito dall'acqua in fase di riscaldamento, quello assorbito dall'acqua in fase di ebollizione, e quello ceduto dal rame nel raffreddamento (espresso in modulo). Si ha che:

$Q_1 = m_0 c' (T_1 - T_0)= 22,2 kJ$
$Q_2= (m_0 - m_1) \lambda = 22,6 kJ$
$Q_{Cu}=m_{Cu} c (T- T_1)$

Per il bilancio energetico:
$Q_1 + Q_2 = Q_{Cu}$
Da cui
$T=836 K$

Siano ora $\Delta S_1$ , $\Delta S_2$ e $\Delta S_{Cu}$ le variazioni di entropia nei processi detti prima, si ha che:

$\displaystyle \Delta S_1= \int {dQ \over T}= \int^{T_1}_{T_0} {c' m_0 dT \over T}= c' m_0 ln\left({T_1 \over T_0}\right)=64,2 J/K$
$\displaystyle \Delta S_2= { \lambda (m_0 - m_1) \over T_1}=60,6 J/K$
$\Delta S_{Cu}=c m_{Cu} ln\left({T_1 \over T}\right)=-78,1 J/K$

La variazione di entropia totale è quindi $\Delta S= \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_{Cu}=46,7 J/K$

[offtopic]@Eagle: Ma non starai leccando un pò troppo? [/offtopic]

Eagle · Messaggio da **Eagle** » 30 mag 2010, 23:11

La soluzione di ciccio91 è corretta: ergo, spetta a lui il compito di postare il prossimo problema

[off-topic] @ciccio91: non ho capito il tuo off-topic - perché mi hai scritto questo? [/off-topic]

ciccio91 · Messaggio da **ciccio91** » 31 mag 2010, 17:18

Problema 6

Ci sono due contenitori termicamente isolanti, ciascuno di volume $V_0$ , che contengono lo stesso gas a pressione iniziale $P_0$ . Questi due contenitori sono messi in comunicazione da un piccolo tubo di volume trascurabile e sezione A, mantenuto orizzontale.
All'interno del tubo è presente un piccolo cilindro di massa m, il quale, potendo scorrere liberamente all'interno del tubo, è mantenuto in un moto armonico da due bobine, sistemate attorno al tubo alle due estremità del magnete, alimentate in corrente alternata sinusoidale. Si trascurino gli attriti e la conduttività termica del magnete.
Si osserva che le (piccole) oscillazioni del magnete hanno un'ampiezza maggiore quando la frequenza della corrente alternata è $f=10 Hz$ . Si trovi il valore del calore specifico a volume costante del gas.
Dati:
$P_0=1,0 \cdot 10^5 Pa$
$V_0=38,0 dm^3$
$m=2,0 g$
$A= 10,0 cm^2$

Saleh · Messaggio da **Saleh** » 6 giu 2010, 0:36

Questo problema ha ucciso la staffetta

se avessi studiato i magneti ci avrei provato io.

ciccio91 · Messaggio da **ciccio91** » 6 giu 2010, 3:43

Mi sa che non hai ben inquadrato il problema. Se sta nella staffetta di termodinamica ci sta un motivo.
Giusto per capirsi (anche se è un bel hint), invece delle due bobine ci potrebbe benissimo essere stata una molla collegata al corpo nel tubo, percui non è un fatto di conoscenze avanzate

È stato, o almeno è molto simile, al problema di riserva per le IPhO del '91 (L'Avana, Cuba), ma è al livello giusto per la staffetta.

TBPL · Messaggio da **TBPL** » 8 giu 2010, 14:44

Ora che ciccio ha corretto i dati, ci provo

Metto lo $0$ nella posizione di equilibrio del cilindro e considero le $x$ positive verso destra. Quando il cilindro si trova nella posizione $x$ , il volume del contenitore di sinistra aumenterà di un $\Delta V=Ax$ . Poiché devo avere in ogni momento $pV^\gamma=P_0{V_0}^\gamma$ , allora $\displaystyle{p=\frac{P_0{V_0}^\gamma}{(V_0+\Delta V)^\gamma}=\frac{P_0{V_0}^\gamma}{V_0+Ax}}$ . Poiché sia le oscillazioni sia il valore di $A$ sono piccoli, allora $\frac{Ax}{V}<<1$ , quindi $\displaystyle{\frac{P_0{V_0}^\gamma}{(V_0+Ax)^\gamma}\approx P_0\left(1-\gamma\frac{ Ax}{V_0}\right)}$ . Analogamente, a destra varrà $\displaystyle{p\approx P_0\left(1+\gamma\frac{ Ax}{V_0}\right)}$ , quindi in totale agirà un forza $\displaystyle{F_p=A\Delta p=-2\gamma\frac{ A^2x}{V_0}P_0}$ . A causa del campo magnetico, agisce sul magnete una forza $F_B\propto B\propto I$ . Il massimo dell'ampiezza si ha quando le oscillazioni provocate dalle due forze hanno massimo contemporaneamente (volendo, si formalizza risolvendo la differenziale $\displaystyle{mx''=-k\sin{wt} - 2\gamma\frac{A^2}{V_0}P_0x}$ ), ossia devo avere $\displaystyle{(2\pi f)^2=\omega^2=2\gamma\frac{A^2}{mV_0}P_0}$ , da cui ricavo $\gamma=1,5$ . Poiché $\gamma=\frac{c_v+R}{c_v}$ , ottengo $c_v=2R$

ciccio91 · Messaggio da **ciccio91** » 8 giu 2010, 16:37

Ok, il risultato è quello

.
(Nel riscriverlo ti sei perso una m da qualche parte, ma comunque si capisce).

TBPL · Messaggio da **TBPL** » 8 giu 2010, 20:47

Ok, aggiustate le $m$ mancanti

Ora metto un problema che ci sta meglio in meccanica, ma non importa xD
Ho un cubo di lato $2l$ che non consente scambi di calore con l'esterno in cui ci sono $N$ particelle di un gas perfetto monoatomico, ognuna di massa $m$ . Metto l'origine degli assi $x,y,z$ nel centro del cubo. Il campo grazitazionale è $\vec{g}=-g\hat{y}$ . So che la temperatura nell'origine è $T(0,0,0)=T_0$ . Determinare la densità del gas $\rho(x,y,z)$ .

Messaggio da **Pigkappa** » 8 giu 2010, 21:35

Forse volevi dire che:

1)Il sistema è all'equilibrio termodinamico.
2)La temperatura è $T_0$ in tutto il cubo.

Mi sbaglio?

TBPL · Messaggio da **TBPL** » 8 giu 2010, 21:57

Meglio precisare.. L'equilibrio non è termodinamico, ma energetico (nel senso che l'energia media delle particelle è uguale ovunque). Ah, ci sono anche le solite amenità, cioè che tutti gli urti sono elastici, il gas è abbastanza rarefatto e $2gl$ è sufficientemente piccolo che il numero di particelle che non raggiunge la faccia superiore è trascurabile.
E' anche carino fare il problema a temperatura uniforme, comunque.

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