Resistore a tronco di cono

[Stardust]

Abbiamo un resistore a forma di tronco di cono, il cui raggio minore è "a" e quello maggiore è "b", con resistività .
La lunghezza del resistore è L, ed esso è attraversato da una corrente i nel senso del suo asse.
Bisogna:
1. trovare la resistenza del dispositivo, supponendo che, se "a" e "b" non differiscono molto,
la densità di corrente J sia costante in tutto il tronco di cono;
2. dire se ed eventualmente come cambia la resistenza nel caso in cui
l'intensità di corrente sia costante e J variabile(cioè senza ammettere che a e b non siano molto dissimili);
Allego uno schema che rappresenta metà sezione laterale del tronco di cono per chiarire meglio la traccia.
Il problema è ispirato (a dir poco) al n. 29 p. 608 del capitolo 27 dell'Halliday (versione per il liceo).
Per curiosità vorrei sapere se esistono effettivamente resistori
con forme geometriche di questo tipo, un po' strane, e in quali impieghi sono adoperati.

[Gauss91]

Prima parte. Non so cosa si intenda con dato che l'intensità di corrente è variabile lungo il percorso: suppongo (magari mi sbaglio eh) che sia dove e sono rispettivamente le correnti agli estremi a e b.
E' , perché in ogni punto i è perpendicolare ad A, quindi, essendo j costante lungo il percorso, si ha , da cui (1)
E' , e siccome , essendo una proprietà del materiale, è per definizione costante, ed essendo j costante, allora anche E deve essere costante, e si avrà .
E' , perché abbiamo detto che E è costante lungo tutto il percorso ed è parallelo all'asse del cono.
E' , in ogni punto in cui la corrente sia . Dunque è, in ogni punto a distanza x da a, . Siccome si è detto che e non differiscono molto, si può approssimare in ogni punto la corrente come (2) (che è un'approssimazione migliore di )
Quindi, alla fine del resistore, sarà (3) e usando le espressioni (1) e (2) si ricava . Sostituendo questa espressione nella (3) si ottiene infine (se i calcoli finora sono giusti) .

Seconda parte.
Come prima, è , ossia e .
E' , che è costante per definizione, quindi, se a distanza x da a la sezione del cono ha superficie S, è (4). Con semplici considerazioni geometriche, si ha che, a distanza x da a, il raggio del cono è , quindi l'area sarà (5).
Non essendo E costante, ma essendo sempre parallelo all'asse del cono, è , e sostituendovi la (4) e la (5), diventa
.
Quindi .
Spero di non aver detto cavolate! Anche perché è il primo esercizio della mia vita che coinvolge resistenze.
Per quanto riguarda il resto, io non so quasi nulla di fisica e quindi proprio non te lo saprei dire.

[Pigkappa]

Suggerimento: guarda il risultato, e fai i casi limite. Se il tronco di cono è in realtà un cilindro, cioè se b = a, secondo la tua formula la resistenza fa +infinito. Mi pare un po' strano!

[Gauss91]

Ops hai perfettamente ragione, infatti ho sbagliato ad integrare.
Infatti .
Così si ottiene .
Ora edito, scusate per l'errore di calcolo! Così va bene?

[Stardust]

In realtà il risultato della seconda parte esposto da Gauss91 a me esce per il primo quesito (e concorda con il libro).
Nel disegno dell'Halliday i viene indicata come in entrat dalla parte del raggio a e in uscita dal raggio b, senza pedici che ne facciano supporre una variazione. Quello che non mi quadra è il fatto che l'intensità di corrente i subisca una cambiamento
(anche se è un'ovvia conseguenza di J costante), cioè che all'inizio ci sia una intensità più piccola, che poi cresce all'allargarsi dello spazio a disposizione nel resistore.
Io ho usato l'approssimazione secondo cui, se a e b non differiscono molto e J non cambia, allora anche l'intensità di corrente rimane praticamente invariata. Ciò mi ha portato alla formula concusiva espressa nel post precedente.

[Gauss91]

E' vero, rimane praticamente invariata, infatti l'unico possibile errore della mia soluzione sta nell'interpretazione di quella . Io ho supposto forse troppo audacemente che sia .
Tra l'altro, è vero che la corrente cambia poco, ma è un'approssimazione migliore considerarla invariante e attribuirle il valore di piuttosto di una tra e .
Ovviamente poi, a seconda di come interpreti dato nel testo, il risultato cambia. Evidentemente il libro voleva che fosse considerata costante.
In ultima analisi, le approssimazioni sono a volte soggettive: se tu dici che la corrente può essere considerata invariante, allora io dico che il tronco di cono può essere approssimato ad un cilindro, e a quel punto va direttamente dalla formulina classica che sia (penso che questa formula si chiami seconda legge di Ohm ma non fidatevi molto...).
Insomma, tutto sta nell'interpretazione di quello che dice il testo (per questo la fisica di questo livello non mi piace! ahah! perché A VOLTE è poco rigorosa e va "ad interpretazione").
Nota anche che le mie formule, per il limite a=b, si riducono entrambe, correttamente, al caso di un cilindro percorso da corrente. Quindi sono per lo meno possibili.

[Stardust]

Comunque forse un'approssimazione ancora migliore dell'intensità di corrente in questa situazione potrebbe essere la media geometrica dei valori assunti da i in entrata ed uscita:
.
D'altronde il testo non è molto chiaro in proposito, ma la soluzione proposta da Gauss91 mi sembra comunque convincente.
La cosidetta 2^ legge di Ohm è più in generale formulata come , cosicchè A è la generica area della sezione frontale del resistore, che potrebbe pure essere quadrata, o ellittica, sebbene nella realtà praticamente simili forme sono escluse dai progettisti.

[Gauss91]

Scusa, ammetto sportivamente di essere ignorante: la soluzione di questo problema non mi convinceva affatto, quindi ho ripassato il capitolo dell'halliday su corrente e resistenza, e ho capito di aver sbagliato la prima soluzione. Questa è la mia definitiva, non so come abbiamo fatto a non accorgercene.

E' , dove è la distanza della superficie dall'estremo , e il campo è
Il campo è costante e uniforme, quindi è , quindi sarà
. Non ho fatto tutti i passaggi ma l'integrale è uguale a quello della seconda soluzione.
Dimentichiamoci quello che abbiamo detto perché mi sa che questo problema è stato l'apoteosi degli errori! Ahah, ciò che mi consola è che è stato il primo

[pascal]

Perché nei due regimi di corrente si ha la stessa resistenza?
Ripercorro le due dimostrazioni.
a) Per I=costante:
, ma con r incluso in e perciò
b) Per J=costante:

Quindi e le due resistenze sono uguali.
Nel modo a) la corrente I è dovuta alla tensione V ed R=V/I.
Nel modo b) possiamo pensare di suddividere il tronco in tanti cilindretti, attraversati dalle correnti , a loro volta provocate da generatori che applicano le tensioni appropriate . Il rapporto fornisce la resistenza del generico cilindretto. Assemblando i cilindretti si ottiene il tronco, che corrisponde ad un insieme di resistenze in serie e pertanto .
I due procedimenti conducono allo stesso risultato perché, una volta stabilito il percorso della corrente, la resistenza del tronco deve essere indipendente dalla modalità di calcolo, a parità di .

[Gauss91]

Wow!
Ma questo vale per qualsiasi resistore con corrente stazionaria o è solo un caso?