Ancora resistenze (in successione)

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 28 dic 2009, 9:58

Questo problema continua la serie di discussioni su resistenze ed affini che sono così apprezzati tra i frequentatori del forum.
Si pongano due resistenze uguali R in serie tra i punti A e B. Una volta calcolata la resistenza equivalente $R_{e1}$ ,
si colleghi un'altro ramo con due resistenze R in parallelo ad una delle due resistenze posizionate prima,
in corrispondenza dei punti C e D, come in figura. Anche in questo caso si calcoli $R_{e2}$ .
Si aggiungano altre due R, tra loro in serie, tra i punti E e F in modo analogo a quanto fatto prima, ottenendo la corrispondente resistenza equivalente.
Si può ripetere la procedura a piacimento (almeno 6-7 volte), per poi organizzare i risultati in una tabella (naturalmente le diverse resistenze equivalenti saranno in funzione di R).
Ora si osservi, nella formula della resistenza equivalente per ogni caso, l'andamento del coefficiente posto davanti alla R, detto $\beta$ ,
facendo le opportune osservazioni: in particolare, si dica a quale valore tenderà $\beta$ per un numero infinito di maglie aggiunte.
Suggerimento: in queste considerazioni conviene osservare i valori di $\beta$ sia come frazioni, che come comuni numeri con la virgola.
Se non ricordo male un esercizio del genere è stato proposto qualche anno fa per l'ammissione alla Scuola Superiore di Catania.

Messaggio da **Ippo** » 28 dic 2009, 18:05

Per questo tipo di problemi c'è una strategia molto più rapida ed indolore.
Spesso quando hai una grandezza che è espressa da una successione (cioé dipende da un indice intero, in genere il numero di iterazioni di un certo processo) e hai dei buoni motivi per ritenere che questa serie converga, puoi trovare il limite per $n \rightarrow \infty$ imponendo semplicemente $a_{n+1}=a_n$ .
Una rappresentazione fisica di quest'idea è:
collego A a B mediante un'altra resistenza R, e con un'altra resistenza R collego A ad un nuovo punto A'. La resistenza tra A' e B è la stessa che c'è tra A e B (abbiamo solo aggiunto una maglia, se prima ce n'erano centomila non farà una differenza significativa).
Allora si può imporre un'equazione per la resistenza equivalente, che in questo caso è di secondo grado e quindi di facile soluzione.

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 28 dic 2009, 19:11

Ora propongo la mia soluzione originaria.
Facendo un po' di sporco lavoro di calcolo escono i seguenti risultati:
$R_{e1}=2R$
$R_{e2}=5R/3$
$R_{e3}=13R/8$
$R_{e4}=34R/21$
$R_{e5}=89R/55$
$R_{e6}=233R/144$ .
Si nota subito che ogni resistenza equivalente è espressa nella forma:
$R_{ek}={\beta}_k\;R$ ,
in cui $\beta _k={\frac{F_n}{F_{n-1}}}$

ovvero è il rapporto tra un numero $F_n$ della serie di Fibonacci e il termine precedente,
denominato $F_{n-1}$ .
I primi termini della successione di Fibonacci sono:
0;1;1;2;3;5;8;13;21;34;55;89;144;233;... (partendo da $F_0=0$ , considerando $F_{13}=233$ ).
Più precisamente, si ha
$\beta _1=F_3/F_2$
$\beta _2=F_5/F_4$
$\beta _3=F_7/F_6$
$\beta _4=F_9/F_8$
$\beta _5=F_{11}/F_{10}$
$\beta _6=F_{13}/F_{12}$ .
Una peculiarità di questo rapporto è che al tendere di n all'infinito, dà come risultato
$\beta _{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{F_n}{F_{n-1}}}={\frac{{\sqrt{5}}+1}{2}}=\phi$ .
Questo è il numero di Fidia (dalla storia dell'arte si dovrebbe ricordare qualcosa...) che è tipico della sezione aurea.

Messaggio da **Pigkappa** » 28 dic 2009, 20:57

Ok, adesso però fallo come dice Ippo. Quel metodo è molto più efficiente!

Senior · Messaggio da **Senior** » 28 dic 2009, 21:18

Stardust ha scritto:
.........
$\beta_k={\frac{F_n}{F_{n-1}}}$
.......
è, però, meglio scrivere

$\beta _n={\frac{F_{2n+1}}{F_{2n}}}$

con $n\geq1$

Gauss91 · Messaggio da **Gauss91** » 28 dic 2009, 21:53

Stardust, ma la tua non è una vera dimostrazione, giusto? E' solo un suggerimento che ti danno i calcoli e che ti porta a credere che il limite sia effettivamente $\phi$ ! Ci vorrebbe una dimostrazione matematica di questo fatto...

Messaggio da **Rigel** » 29 dic 2009, 15:16

Una dimostrazione mediante Fibonacci che il risultato è $\phi$ si potrebbe fare per induzione. Cioè se $\beta_n=\frac{F_{2n+1}}{F_{2n}}$ allora si deve dimostrare che $\beta_{n+1}=\frac{F_{2n+3}}{F_{2n+2}}$ .

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 29 dic 2009, 20:02

Gauss91 ha scritto:Stardust, ma la tua non è una vera dimostrazione, giusto? E' solo un suggerimento che ti danno i calcoli e che ti porta a credere che il limite sia effettivamente $\phi$ ! Ci vorrebbe una dimostrazione matematica di questo fatto...

Io sto provando ad ottenere questo risultato $\beta_\infty=\phi$ (senza grande soddisfazione per il momento) usando la formula di Binet che permette di generare qualunque termine della successione di Fibonacci:
$F_n=\frac{{\phi}^n-(1-\phi)^n}{\sqrt 5}$ .
Quindi il mio ragionamento è il seguente:
$\beta_\infty=\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{F_n}{F_{n-1}}}$ ,
ossia
$\beta_\infty=\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{{\phi}^n-(1-\phi)^n}{{\phi}^{n-1}-(1-\phi)^{n-1}}}$ .

Procedo con il raccoglimento del termine $\phi ^n$ , raggiungendo la forma
$\beta_\infty=\lim_{n \rightarrow \infty} \phi{\frac{1-({\frac{1}{\phi}}-1)^n}{1-({\frac{1}{\phi}}-1)^{n-1}}}$ .

In seguito estraggo al numeratore e al denominatore il termine $({\frac{1}{\phi}}-1)^n$

e per semplificare un po' la scrittura in LaTex uso la relazione $1/{\phi}=\phi-1$ , ottenendo

$\beta_\infty=\lim_{n \rightarrow \infty} \phi {\frac{\frac{1}{(\phi -2)^n}-1}{\frac{1}{(\phi -2)^n}-{\frac{1}{\phi -2}}}}$ .

A questo punto mi sembra il momento di sostituire finalmente n:
$\beta_\infty=\phi {\frac{0-1}{0-{\frac{1}{\phi -2}}}}$ ,
da cui si ottiene:
$\beta_\infty=\phi(\phi -2)=\phi(\phi -1-1)$ .
Ora ritorno ad usare (al contrario) la relazione $1/{\phi}=\phi-1$ , così da avere:
$\beta_\infty=\phi(1/{\phi}-1)=1-\phi$ .
Ovviamente c'è un errore, ma non riesco a scovarlo...

Per l'altro metodo di soluzione più veloce proposto da Ippo potreste darmi un ulteriore chiarimento?

pascal · Messaggio da **pascal** » 29 dic 2009, 22:40

Poiché $\Phi>1$ e $\mid 1/\Phi-1 \mid<1$ , puoi trovare l’identità $\beta_\infty=\Phi$ nel punto in cui hai posto $\Phi$ in evidenza.

Perché non calcoli $\Phi$ dall’equazione $1/\Phi=\Phi-1$ ?

Come hanno detto Ippo e Pigkappa, basta partire dall’uguaglianza di $R_{AB}$ e di $R_{CD}$ (rete senza il ramo ACDB).

Gauss91 · Messaggio da **Gauss91** » 29 dic 2009, 22:50

E'
$\lim_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{\phi^n - (1 - \phi)^n}{\phi^{n-1} - (1 - \phi)^{n-1}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{\phi^n + \frac{1}{\phi^n}}{\phi^{n-1} + \frac{1}{\phi^{n-1}}}$
che diventa
$\lim_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{\phi^n}{\phi^{n-1}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \phi = \phi$ .
Conviene usare la relazione sin dall'inizio per semplificare le cose: $1/{\phi} = \phi - 1$

Ancora resistenze (in successione)

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