Un resistore particolare.

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 16 dic 2009, 22:38

Allora torniamo sul punto c del problema, ricordando le relazioni matematiche individuate finora e prive di incertezze. Innanzi tutto con la conducibilità variabile la resistenza complessiva del resistore risulta essere:
$R'_{tot}={\frac{a^k}{2{\pi}{\sigma}_alk}}({{\frac{1}{a^k}}-{\frac{1}{b^k}}})$ .
Poi abbiamo che il campo elettrico è dato da:
$E=J/{\sigma}$ :
Visto che sia la densità di corrente J che la conducibilità sono in funzione del raggio è chiaro che in un modo o nell'altro anche il campo elettrico presenterà una qualche dipendenza dalla distanza r considerata. Ne consegue infatti:
$E(r)={\frac{J(r)}{{\sigma}(r)}}$
Ricordando che l'intensità di corrente vale $i={\Delta}V/R'_{tot}$ ,
che l'area "laterale" di un cilindro è $A=2{\pi}lr$ ,
si può riprendere il risultato ottenuto per la resistenza complessiva e scrivere:
$E(r)={\frac{\frac{i}{A}}{{\sigma}_a{\frac{r^k}{a^k}}}}={\frac{a^kb^k{\Delta}Vk}{b^k-a^k}}r^{-k-1}$ .
A questo punto facciamo alcune considerazioni sul flusso elettrico. Essendo il prodotto scalare tra il vettore rappresentante la superficie e il vettore indicante il campo elettrico E, è pacifico che se E si dispone radialmente intorno all'asse di simmetria del resistore, non ci sarà alcun flusso alle sue basi, i cerchi che lo chiudono alle due estremità.
I nostri ragionamenti vanno perciò limitati al flusso che fuoriesce o entra attraverso la superficie laterale del cilindro. Usando la legge di Gauss si ottiene che ad una generica distanza r, il flusso che interessa la corrispondente superficie gaussiana vale:
$\Phi={\frac{q}{\varepsilon}}=(ne)W/{\varepsilon}=EA={\frac{2{\pi}a^kb^k{\Delta}Vkl}{b^k-a^k}}r^{-k}$ .
IL termine W è ovviamente il volume ( $W={\pi}(r^2-a^2)l$ ) del cilindro di raggio r in questione.
Ora vediamo qual è il valore della carica q per "r" e "r+dr":
$q_1={\frac{2{\pi}{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vkl}{(b^k-a^k)}}r^{-k}$
e
$q_2={\frac{2{\pi}{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vkl}{(b^k-a^k)}}(r+dr)^{-k}$ .
Quindi la differenza tra queste due cariche corrisponde alla carica contenuta nel sottile "involucro" di spessore dr, esterno al generico cilindro di raggio r:
$q_2-q_1= {\frac{2{\pi}{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vkl}{(b^k-a^k)}}[{{\frac{1}{(r+dr)^k}}-{\frac{1}{r^k}}}]$ .
Provo a considerare che il volume dW, ovvero lo spazio compreso tra i due cilindri, è pari a
$dW={\pi}[(r+dr)^2-r^2]l$ .
Quindi la densità di carica in questo spazio dovrebbe essere:
$d(ne)={\frac{q_2-q_1}{dW}}={\frac{dq}{dW}}$ .
Questa si traduce nell'espressione:
$d(ne)={\frac{2{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{(b^k-a^k)[(r+dr)^2-r^2]}}[{{\frac{1}{(r+dr)^k}}-{\frac{1}{r^k}}}]$
E ora come si dovrebbe proseguire? Mi sembra che ci sono troppi dr in giro nell'equazione qui sopra. Magari bisogna porre $dr \rightarrow 0$ da qualche parte?

Messaggio da **Pigkappa** » 16 dic 2009, 23:25

Approssimazione da ricordare sempre:

$(1+x)^k \approx 1 + kx$ per $x << 1$ , sia per $k$ positivi che negativi.

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 17 dic 2009, 14:28

Ok, allora è possibile avere una semplificazione significativa:
$d(ne)={\frac{2{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{(b^k-a^k)[(r+dr)^2-r^2]}}({\frac{1}{r^k(1+dr/r)^k}}-{\frac{1}{r^k}})$
da cui
$d(ne)={\frac{2{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{(b^k-a^k)[(r+dr)^2-r^2]}}({\frac{1}{r^k(1+kdr/r)}}-{\frac{1}{r^k}})$ .
Conviene quindi semplificare ulteriormente la parte finale ottenendo:
$d(ne)={\frac{2{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{(b^k-a^k)[(r+dr)^2-r^2]}}({\frac{1}{r^k+kr^{k-1}dr}}-{\frac{1}{r^k}})$ .
Si può anche notare che la differenza dei quadrati dei raggi nell'equazione sopra si può ricondurre a:
$(r+dr)^2-r^2=r^2+2rdr+dr^2-r^2=2rdr+dr^2$ .
Dato che dr è gia infinitesimo, il suo quadrato è praticamente ininfluente ai fini del risultato e si ha:
$(r+dr)^2-r^2=2r\;dr$ .
Alla fine si ottiene la seguente formula:
$d(ne)={\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk^2}{(b^k-a^k)}}({\frac{1}{r+kdr}})$ .
Purtroppo non capisco come continuare.
Mi sembra di capire che è necessario trovare una funzione che descriva l'andamento di ne, e quindi mi pare strana la presenza del termine dr, che in genere io uso solo per integrali e differenziali.
Non è un problema? In seguito cosa bisognerebbe fare?

Messaggio da **Pigkappa** » 17 dic 2009, 14:40

Stardust ha scritto: $}({\frac{1}{r^k(1+dr/r)^k}}-{\frac{1}{r^k}})$
da cui
$({\frac{1}{r^k(1+dr^k/r^k)}}-{\frac{1}{r^k}})$ .

No! Prova a fare i conti partendo da questo:

$(\frac{1}{r^k(1+dr/r)^k} - \frac{1}{r^k}) = \frac{1}{r^k} ( (1 + dr/r)^{-k} - 1) \approx \frac{1}{r^k} (1 - k \frac{dr}{r} -1) =$
$= - \frac{1}{r^k}\frac{dr}{r}$

Vuoi arrivare ad una espressione del tipo $d(ne) = F(r) dr$ (dove F è una funzione) in modo da poter integrare in $dr$ .

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 17 dic 2009, 16:26

Allora rifaccio l'approssimazione nel modo consigliato (e senza effetti indesiderati, spero):
$d(ne)={\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{b^k-a^k}}{\frac{1}{r^k}}[{(1+dr/r)^{-k}-1}]$ .
Da ciò si verifica:
$d(ne)=-{\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{b^k-a^k}}{\frac{k}{r^{k+1}}}\;dr$ .
Mi auguro che questa sia la formula desiderata per l'integrazione.
Quindi si prosegue:
$ne=\int_a^b -{\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk^2}{b^k-a^k}}{\frac{1}{r^{1+k}}}\;dr$
da cui
$ne=-{\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk^2}{b^k-a^k}}{\int_a^b {r^{-k-1}}}\;dr$ ,
poi
$ne=-{\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk^2}{b^k-a^k}}[-{\frac{1}{k}}{\frac{1}{r^k}}]_a^b$
ed infine
$ne={\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{b^k-a^k}}(1/b^k-1/a^k)$ .
Tutto ciò si può sintetizzare in
$ne={\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{b^k-a^k}}{\frac{a^k-b^k}{a^kb^k}}=-{\varepsilon}{\Delta}Vk$ .
Dico subito che il meno davanti ad una densità mi suona strano, ma forse si può giustificare con il fatto che "e" ha un valore negativo (argomentazione non molto forte, a dir l verità).
Vediamo cosa esce con il controllo dimensionale...
$ne=[C^2/(Nm^2)]V=[C^2/(Nm^2)](J/C)=(C/Nm^2)(Nm)=C/m$ .
Evidentemente c'è qualcosa che non funziona...
E non riesco a trovare l'errore.

Messaggio da **Pigkappa** » 18 dic 2009, 0:44

Dunque, le seguenti cose:

1)Il rapporto tra la carica contenuta tra le due superfici cilindriche a $r$ e $r+dr$ ed il volume di tale regione di spazio è proprio la densità di carica (che in tale tratto possiamo considerare uniforme, perchè $dr$ è molto piccolo), per definizione. Quindi non devi scrivere $d(ne)$ ma proprio $ne$ .
2)Ti sei perso un $(r+dr)^2-r^2$ al denominatore (e anche questo termine lo devi approssimare opportunamente...) passando dal post delle 13 a quello delle 15.

Dovresti essere a un passo dal risultato

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 18 dic 2009, 14:36

Beh, pure a me sembrava anomalo chiamare dq/dW "d(ne)".
Apportando le correzioni suggerite da Pigkappa si ottiene questa benedetta equazione per la densità di carica.
Quindi riepilogo un attimo tutti gli ultimi passaggi per chiarirmi le idee:
$ne={\frac{dq}{dW}}={\frac{2{\varepsilon}a^k b^k{\Delta}Vk}{(b^k-a^k)[(r+dr)^2-dr^2]}}({\frac{1}{r^k}})[(1+{\frac{dr}{r}})^{-k}-1]$ .
Introduco le approssimazioni:
$(r+dr)^2-r^2 {\simeq} 2r\;dr$
e
$(1+{\frac{dr}{r}})^{-k} {\simeq} 1-k{\frac{dr}{r}}$ ,
arrivando alla formula:
$ne=-{\frac{{\varepsilon}a^k b^k {\Delta}Vk}{(b^k-a^k)r^{k+2}\;dr}}k\;dr$ .
Fortunatamente il dr scompare (evitando così qualunque integrazione) e si giunge alla vera e propria funzione:
$ne=-{\frac{{\varepsilon}a^k b^k {\Delta}Vk^2}{b^k-a^k}}r^{-k-2}$ .
Non ci posso credere, (forse) ce l'ho fatta!
A meno di ulteriori errori commessi, non mi spiego il senso fisico del "-" davanti ad una densità.
Dipende forse dal fatto che i portatori di carica sono gli elettroni, notoriamente con carica negativa?
O deriva dal valore assunto dalla differenza di potenziale?
P.S.: Grazie per la pazienza, Pigkappa.

Messaggio da **Pigkappa** » 18 dic 2009, 23:22

Una densità di carica negativa vuol semplicemente dire che ci sono cariche negative (come gli elettroni), niente di particolarmente strano.

Tieni presente che questi conti con i $dr$ e con approssimazioni di quel tipo (e del tipo $\sin{x} \approx x$ , $cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ , e simili) si richiede (alle Olimpiadi, dalle provinciali in su, ed ai test di ammissione alle scuole di eccellenza) che gli studenti li sappiano fare con una certa dimestichezza.

P.S.: Grazie per la pazienza, Pigkappa.

no problem

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