Momento d'inerzia dell'insieme di Cantor

[pascal]

E vai ... col confronto e il trasporto delle I.

[Falco5x]

Se nessuno si sente sufficientemente giovane da postare posso mettere la mia soluzione che è la stessa di Falco5x e pascal

Vai tranquillo, sei tutti noi!

[Rigel]

Sia il momento d'inerzia baricentrico dell'insieme di Cantor lungo L. poichè esso è "simile" a quello lungo L/3 allora si può scrivere

con momento d'inerzia baricentrico dell'insieme di Cantor piccolo.
per l'additività del momento d'inerzia e per il teorema di Steiner (o degli assi paralleli) e dato che l'insieme lungo L è formato da due insiemi lunghi L/3 i cui baricentri distano L/3 da quello comune, si ricava

Quindi si ricava
Ancora per Steiner si ottiene

[Falco5x]

Ottimo. E adesso mi piacerebbe vedere la soluzione "strana" di SPN.

[spn]

Non per deluderti Falco5x, ma il mio procedimento è praticamente identico al vostro (anche se io l'avevo applicato ad un pezzetto dovuto all'n-esimo taglio e a quello del taglio dopo, che si riconduceva banalmente all'iniziale). Avevo detto che mi sembrava ''strano'' perchè da una prima occhiata mi era parso che potesse essere risolto in un modo ancora meno complicato. Evidentemente mi sbagliavo .

[Rigel]

Un commento secondo me importante è che il teorema di Steiner si può applicare anche ai corpi rigidi disomogenei come quello dell'insieme di Cantor

[Stardust]

Ecco un altro ancora più giovane ( e non tanto di età, quanto di conoscenza ed esperienza, purtroppo!).
Vorrei capire da cosa si deduce la "similitudine" tra le due inerzie e come si riesce a stabilire la relazione iniziale usata da Rigel nella soluzione. Cos'è un insieme di Cantor?

[Falco5x]

Ecco un altro ancora più giovane ( e non tanto di età, quanto di conoscenza ed esperienza, purtroppo!).
Vorrei capire da cosa si deduce la "similitudine" tra le due inerzie e come si riesce a stabilire la relazione iniziale usata da Rigel nella soluzione. Cos'è un insieme di Cantor?

Per rispondere non mi rimane che condire con un maggior numero di parole quanto ha già detto Rigel.

La similitudine tra l'intero insieme (l'asta completa alla fine delle infinite operazioni di taglio) e uno dei due sottoinsiemi iniziale e finale della stessa, lunghi ciascuno 1/3 dell'asta intera, deriva dalla replicazione all'infinito della regola che segue: partendo dall'asta continua iniziale, ogni tratto continuo viene diviso in 3 parti e viene asportata la parte centrale.
Da ciò consegue che ciascun tratto alla fine degli infiniti tagli sarà l'immagine dell'intero insieme, con l'unica differenza inerente un primo fattore di scala per le lunghezze e un secondo fattore di scala per le masse.
Nella fattispecie del rapporto tra l'asta completa lunga L (naturalmente a valle degli infiniti tagli, per cui risulta infinitamente "bucherellata") e il suo tratto iniziale o il suo tratto finale (parimenti bucherellati), ciascuno di questi due sarà l'immagine rimpicciolita dell'asta stessa, con un rapporto di scala 1:3 sulle lunghezze e 1:2 sulle masse. Poiché il momento d'inerzia rispetto al baricentro vede ciascun elemento di massa moltiplicato per il quadrato della distanza dal baricentro stesso, ciascuno di questi tratti (bucherellati) avrà un momento d'inerzia baricentrico pari a 1/2 per quanto concerne la massa e 1/9 per quanto concerne la lunghezza rispetto al momento d'inerzia dell'asta completa. Ovvero .
Non so però se ho chiarito oppure se ho semplicemente aumentato la confusione.

Riguardo all'insieme di Cantor in generale guarda su Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Cantor.

[Stardust]

Grazie mille, ora riesco a seguire la soluzione.

[egl]

Propongo un'altra soluzione, sebbene sia molto meno olimpica di quella di Rigel

A tagli ultimati è la massa dell'asta. Sia un estremo e il centro geometrico dell'asta. Da viaggiamo verso il centro per della lunghezza. Questa lunghezza, che è contiene una massa di . Il momento di inerzia rispetto ad è dato per il teorema di Steiner da
dove è il punto medio fra e dell'asta. Il due a moltiplicare poichè il ragionamento è analogo dall'altra parte. Sia ora il punto medio fra e una distanza . Con un ragionamento analogo e procedendo di questo passo si ha:





Da cui che è una serie geometrica, per cui
Ancora per Steiner