321. Torre infinita di cilindri

[Higgs]

Grazie mantanp!

[Fibdg]

Bella soluzione Pigkappa! Innanzitutto rivelo che la fonte del problema è il Morin. Condivido altre possibili tracce di soluzioni (purtroppo non sono farina del mio sacco, io non sono riuscito a risolverlo):

1) Soluzione (completa) dal dipartimento di fisica di Harvard: https://www.physics.harvard.edu/files/sol85.pdf Sfrutta le matrici per concludere, direi che l'idea di fondo è praticamente quella di Pigkappa.

2) Soluzione 2: Prendiamo il punto medio della prima asse. Rispetto a quel punto sicuramente il momento angolare del sistema si conserva. Deriviamo la sua espressione così da poter ragionare in termini di accelerazioni invece che velocità. A questo punto un'intuizione chiave semplifica tutto. Se l'accelerazione della prima asse è , per la seconda asse sarà dove può essere anche negativo, quella successiva eccetera (non mi è chiarissimo come si dovrebbe giustificare questo passaggio, semplicemente per la simmetria del problema per cui ogni livello è assolutamente analogo ad ogni altro tranne l'"ultimo"?). Da ciò, e da alcune considerazioni sull'accelerazione (angolare e non) dei cilindri del primo livello, riprendo l'equazione del momento angolare derivata e noto che le somme infinite che si presentano convergono ad un risultato finito! (a patto che ; questa condizione ha un significato fisico, deriva dal fatto che se una forza finita ha messo in moto il sistema non può aver causato un'accelerazione infinita, che sarebbe quella dell'"ultimo cilindro", o almeno credo sia questo il motivo). Ottengo un'equazione che ha come incognita solo . Trovato questo valore il problema è concluso perché dalle considerazioni precedenti sull'accelerazione dei cilindri del primo livello so che legame c'è tra la richiesta del problema, e .

3) Soluzione 3: La terza soluzione sfrutta la stessa idea del menzionato prima ed è forse la soluzione "truccosa" a cui si riferisce Tarapia. Scrivo la II Legge di Newton sul cilindro del primo livello e ottengo un'equazione con incognite la forza che agisce "dal basso" sul primo livello di cilindri (quella dall'alto sarà ), e l'accelerazione (con considerazioni analoghe alla soluzione 2 si esprimono l'accelerazione angolare e non dei cilindri in funzione di , e ). Ora scrivo la II Legge di Newton per il moto rotazionale sempre su quel cilindro e ottengo un'altra equazione con le stesse incognite. Le divido membro a membro e ottengo un'equazione di secondo grado in ! Scarto la soluzione con come prima e concludo allo stesso modo della 2).

Soluzioni 2) e 3) in dettaglio: https://www.youtube.com/watch?v=-qbZJLEZY_4&t=69s

Buon proseguimento di staffetta!