Scontro tra asteroidi

[Tarapìa Tapioco]

No anzi sono convinto del contrario. La F che trovo con m<<M è diversa, come del resto scrivo, dalla F senza questa condizione quando il CM non coincide con il centro O dell'asteroide. O non ho capito quello che dici?

Nel messaggio precedentemente citato, tu hai sostanzialmente voluto dire che il primo risultato di trovato in A), qui sotto riportato

,
sia valido per , o sbaglio? La mia affermazione contenuta nel mio messaggio precedente vuole rimarcare come nessuno dei tuoi valori di riportati sul Forum sia quello corretto per il rispetto della validità della condizione . Vorrei sapere quale procedura tu abbia espletato per il conseguimento di tale vincolo, dal momento che bisogna avanzare approssimazioni che tu non hai effettuato all'interno del tuo procedimento.

[Higgs]

Io ho pensato semplicemente che se m<<M il centro di massa coincide con il centro dell'asteroide ed ho fatto i conti di conseguenza. Sono stato evidentemente semplicistico come mi capita...

[Tarapìa Tapioco]

Io ho pensato semplicemente che se m<<M il centro di massa coincide con il centro dell'asteroide ed ho fatto i conti di conseguenza. Sono stato evidentemente semplicistico come mi capita...

La tua interpretazione non è così semplicistica come sembra; anzi, essa è in un certo senso corretta. La problematica risiede nella maniera in cui tale idea viene applicata ai calcoli nello svolgimento. Cerco di avanzare una spiegazione.
Decretando la coincidenza del centro di massa con il centro dell'asteroide maggiore, hai giustamente approssimato la distanza del centro di massa del sistema dalla posizione in cui l'asteroide minore di massa è incastrato, al raggio dell'asteroide maggiore, assumendo dunque . Tale approssimazione, tuttavia, dev'essere effettuata in ognuno dei passaggi del procedimento, con annessa sostituzione in ognuna delle grandezze coinvolte, non soltanto nell'espressione finale della forza centripeta . Attuando quest'ultimo metodo, si giunge ad un grado di approssimazione soltanto parziale rispetto alla condizione .
Passo ad esaminare i tuoi svolgimenti contrassegnati da A) e B).

A)Scusatemi ma anche se il mio risultato è diverso voglio postare quello che nelle mie intenzioni era il procedimento emendandolo dall'errore evidenziato da Pigkappa. 1) Come ho scritto nel mio primo post ho inteso dal testo che il centro di massa (ecco perché non ne parlavo)coincidesse con il centro dell'asteroide da dove passava l'asse di rotazione 2) In effetti se v' è la velocità di traslazione dell'asteroide quella di m incastrato è . Allora per la conservazione della quantità di moto risulta mentre per la conservazione del momento angolare risulta La quantità di moto rotatoria dell'asteroide è nulla. Fatti i conti se non ho fatto errori risultano e per cui

Qui, avendo assunto il centro dell'asteroide di massa come centro di massa del corpo rigido, hai giustamente imposto la conservazione del momento angolare rispetto al centro di suddetto asteroide. Questo particolare metodo non ti permette di considerare e valutare la distanza , che viene correttamente introdotta soltanto alla fine del procedimento, giustappunto non prima della determinazione dell'espressione di . Bisogna trovare un metodo differente da quello appena menzionato.

B) Se uno abbandona l'ipotesi del centro dell'asteroide come centro di massa allora trova che quest'ultimo dista dal centro dell'asteroide e ovviamente dista (R-x) da m. Allora per quanto riguarda la quantità di moto traslatoria uno può immaginare la massa m+M che viaggia a velocità v' ? E per quanto riguarda il momento angolare uno deve calcolare il momento di inerzia dell'asteroide rispetto al centro di massa ottenendo per quanto riguarda M e per quanto riguarda m? Ma come fa ad essere lo stesso? Come vedete ho parecchi dubbi. Se comunque mi dite che questa è la strada farò i conti per vedere se ottengo il vostro risultato. Grazie.

Ti consiglio di svolgere i calcoli seguendo tale metodo. Impostando le equazioni necessarie per il calcolo delle grandezze che compaiono in , avrai a disposizione termini contenenti , dunque non ti sarà difficile effettuare le approssimazioni discusse.

In generale, l'assunzione che conduce all'approssimazione inizialmente citata, da te partorita per via meramente concettuale, deriva da un'implicazione algebrica della relazione . In questo caso, ragionare per via induttiva (partendo da una premessa particolare, ovvero la condizione imposta dal testo, per pervenire ad un'approssimazione più generale, cioè ) appare più utile, in quanto consente di approdare al risultato corretto tramite qualunque metodo si scelga di adottare (ce ne sono veramente moltissimi, e prevedono equazioni di conservazione tutte differenti ma parimenti esatte e ragionevoli). C'è un preciso motivo per il quale ho espresso la forza nella forma , e non - invece - mediante un'espressione simbolica come la tua (ugualmente corretta e ad essa corrispondente). Prova a ragionarci sopra.

Concludo dicendo che la procedura sopra descritta è accettabile per un problema del genere, ove non sono richieste approssimazioni puntuali e per il quale il metodo risulta dunque ragionevole, ma, a rigore, non è quella corretta. Appare sempre molto rischioso svolgere approssimazioni di tale sorta, soprattutto in determinati contesti. Lo dimostrerò nel mio procedimento.

Infine, ritengo giusto (credo che @Pigkappa convenga con me) aspettare la tua risposta prima di pubblicare il mio svolgimento con annessi calcoli. Sei stato molto bravo, perciò penso che tu debba avere l'onore di pervenire anche a quest'altro risultato semplificato di prima che tu medesimo lo possa leggere dal mio messaggio.

[Pigkappa]

Io in realta' non intendevo mai dire che e nella mia soluzione non l'ho mai usato. Nel testo dicevo solo che il secondo asteroide e' molto piu' piccolo, nel senso di dimensioni spaziali. Ma ci sta che, a meno che non siano fatti di materiali di densita' molto diversa, il che non e' particolarmente realistico, si possa presumere che anche la massa sia molto piu' piccola...

[Tarapìa Tapioco]

Io in realta' non intendevo mai dire che e nella mia soluzione non l'ho mai usato. Nel testo dicevo solo che il secondo asteroide e' molto piu' piccolo, nel senso di dimensioni spaziali. Ma ci sta che, a meno che non siano fatti di materiali di densita' molto diversa, il che non e' particolarmente realistico, si possa presumere che anche la massa sia molto piu' piccola...

Sì, immaginavo che il tuo problema non intendesse considerare anche il caso , ma si tratta di una situazione realistica che il testo stesso non esclude e che può essere interessante analizzare, non tanto per arrivare al risultato finale, quanto - soprattutto - per comprendere il corretto metodo da utilizzare per avanzare ragionevoli approssimazioni. In un esercizio - molto simile a questo - del volume An introduction to mechanics di Kleppner & Kolenkow, se non ricordo male, viene effettuata un'approssimazione del tipo , anche se non richiesta dal testo stesso.
Non credo neanche io che sia necessario considerare questa condizione per risolvere il problema: sono stato io stesso, nel precedente commento, ad evidenziare come questo problema non richieda approssimazioni puntuali. Mi sembra particolarmente interessante, tuttavia, non limitarsi alle domande poste dal testo così strettamente intese (come anche tu insegni, a giudicare dai tuoi interventi in altre discussioni) e provare a valutare anche questa possibilità, che - come puoi vedere - non è di così immediata comprensione.
Correggimi se sbaglio.

[Higgs]

Innanzitutto vedo una cosa allucinante cui non avevo fatto caso fino a quando non mi hai fatto notare come hai scritto la tua espressione di F. Secondo me questa tua espressione è formulata in funzione di e per come la intendevo bovinamente io m<<M significa che il loro rapporto è praticamente nullo. Ciò significa che tutte le F trovate, mie e tua, si annullerebbero. Vuol dire che m è così piccola da non avere diritto nemmeno alla F? Dimmi se non ho capito bene quando affermi che la condizione m<<M va applicata fin da subito nei conti preliminari e non solo a F. Ma come si fa? E' forse anche l'oggetto del tuo intervento?

[Tarapìa Tapioco]

per come la intendevo bovinamente io m<<M significa che il loro rapporto è praticamente nullo. Ciò significa che tutte le F trovate, mie e tua, si annullerebbero.

Il tuo errore risiede proprio qui. Si tratta di uno svarione occorso in maniera piuttosto frequente in coloro che non abbiano dimestichezza con le approssimazioni: infatti, avevo previsto potesse trattarsi di un possibile oggetto di discussione, pertanto ho inserito anche questo punto nel mio svolgimento. Riporto ciò che ho scritto nel mio procedimento non ancora pubblicato, fornendone una piccola anticipazione:

implica la ricerca della più piccola approssimazione a un ordine non nullo per piccoli . Se una funzione di si presenta nella forma , allora si può concludere che essa corrisponda a , ove e per .

Dunque, sei sicuro che la principale e corretta implicazione di sia quella che hai enunciato precedentemente, ovvero la possibilità di trascurare qualsiasi rapporto in senso assoluto, eliminandolo quando si trova da solo? Non credi debba essere avanzata un'assunzione diversa? Ripensa - riguardandola più volte - alla forma . Cosa ne puoi dedurre?

Vuol dire che m è così piccola da non avere diritto nemmeno alla F?

Alla luce di quanto ho spiegato prima, può tale supposizione essere corretta? I tuoi dubbi e perplessità incontrano la mia condivisione. Rileggi con attenzione quanto sopra.

Dimmi se non ho capito bene quando affermi che la condizione m<<M va applicata fin da subito nei conti preliminari e non solo a F. Ma come si fa?

La modalità di esecuzione della procedura è analoga agli schemi forniti sopra. Una volta compresa e assimilata l'implicazione della condizione , non ti sarà difficile applicarla fin da subito nei conti preliminari.

[Higgs]

Purtroppo mi sembra che riproponi le mie perplessità ed io sono d'accordo. Ma non capisco nemmeno l'esempio che fai con la sommatoria e non vedo (tuttavia continuerò a pensarci) quale strumento approssimativo al più piccolo valore non nullo di m/M potrei usare..

[Tarapìa Tapioco]

quale strumento approssimativo al più piccolo valore non nullo di m/M potrei usare..

La condizione può essere altrimenti scritta nella forma .
Dunque? Cosa potrebbe significare ciò?

Ma non capisco nemmeno l'esempio che fai con la sommatoria

L'esempio avanzato tramite la sommatoria è, in realtà, una spiegazione formale dell'impossibilità di approssimare il rapporto a in senso assoluto, concludendo dunque - erroneamente - che la forza centripeta debba essere pari a per la validità della condizione .

[Higgs]

Allora introduco per rappresentare il rapporto con come si direbbe nei limiti "piccolo a piacere" e fin dall'inizio del procedimento lo uso. Riprendendo il mio simbolismo la distanza x di M dal CM sarà e la distanza di m da CM sarà . La velocità angolare . In definitiva se non sbaglio i conti la forza centripeta F agente su m dovrebbe valere Da questa si deducono cose non molto interessanti come che la forza centripeta diventa sempre più piccola al diminuire di dipendendo il numeratore dalla sua seconda potenza e il denominatore dal suo cubo. Ho come l'impressione di aver solo sfiorato la questione m<<M