301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale

[Pigkappa]

Alcune cariche positive e negative sono ferme nello spazio.
È vero che, se l'energia potenziale è zero, tutte le cariche sono in equilibrio?
È vero che, se tutte le cariche sono in equilibrio, l'energia potenziale è zero?

[bosone]

Siano allora le n cariche positive e negative ferme nello spazio e individuate dai vettori posizione . E' abbastanza agevole considerare l'energia elettrostatica del sistema come somma delle energie mutue ij e arrivare alla sua espressione
dove (1/2) tiene conto del fatto che ij e ji non vengano sommati due volte e . Considerando ora le relazioni che legano le forze agenti su ciascuna carica e l'energia elettrostatica dovremmo avere dove nelle parentesi tonde sono indicati i relativi versori.
Ciò premesso dovrei dimostrare
a) se l'energia potenziale elettrostatica è nulla allora il sistema è in equilibrio. si annulla se si annulla ciascuna sommatoria della sua espressione non potendosi gli addendi compensarsi fra loro. Ma se è nulla la i-ma sommatoria è nulla anche la sua derivata che corrisponde alla forza con i=1,2.....n e pertanto il sistema è in equilibrio essendo in equilibrio ciascuna carica.
b) viceversa se il sistema è in equilibrio ciascuna ovvero è nulla ciascuna cioè ciascuna nell'espressione di è costante.
Giunto a questo punto ho pensato che, mentre ci penso, è opportuno che ti chieda se questa impostazione è corretta e quindi è legittimo che prosegua....

[Pigkappa]

Sì mi sembra tutto corretto. Giusto per chiarificare, nella parte B, bisogna capire se è vero che la somma totale di U viene zero quando la forza su ogni carica è zero.

Ottimi progressi con il LaTeX!
Potevi accorciare qualche espressione usando sommatorie a due indici, ma forse rendeva meno chiaro vedere alcune delle tue conclusioni quindi non lo hai fatto di proposito.

Lo hai già capito di tuo ma dato che qualcuno se ne è lamentato al di fuori di qua... Aggiungo le ipotesi che il numero di cariche è finito, che sono puntiformi, e che usiamo la convenzione che U è zero all'infinito.

[Torros]

non potendosi gli addendi compensarsi fra loro.

Mi potreste spiegar questa affermazione? Non riesco a capire come mai le sommatorie non si possano compensare in modo che l'energia potenziale del sistema risulti zero. Grazie

[bosone]

Anzitutto sento il bisogno di ringraziarti Pigkappa perchè non pensavo che fosse tutto corretto anche se francamente non vedevo e non vedo un'altra strada per affrontarlo. Mi ero studiato le derivate parziali per un altro problema, non è programma liceale e neppure sns poichè non conosco alcun problema sns che le richieda se non rispetto alle coordinate cartesiane come in definitiva è qui poi. Visto che U=0 all'infinito è una somma di costanti diverse da 0 e quindi non sembra necessario che se il sistema è in equilibrio il potenziale debba annullarsi. Risponderei a Torros che se ci potesse essere la compensazione il potenziale potrebbe annullarsi come all'infinito e ciò è impossibile. Comunque domando a Pigkappa di controllare le mie affermazioni!

[Pigkappa]

Mi potreste spiegar questa affermazione? Non riesco a capire come mai le sommatorie non si possano compensare in modo che l'energia potenziale del sistema risulti zero

Mi era sfuggita quella cosa..! Le sommatorie possono compensarsi.

non sembra necessario che se il sistema è in equilibrio il potenziale debba annullarsi.

Concordo che non sembra necessario, ma questa non e' una dimostrazione che mi convince del tutto. Se vuoi dimostrare che una affermazione e' falsa, la cosa migliore e' un controesempio. Se vuoi dimostrare che e' vera, serve una dimostrazione.

Visto che mi hai chiesto ulteriore feedback... Qui ho capito cosa vuoi dire, ma la notazione e' un po' strana, se lo scrivi in un esame di Fisica 2 i correttori non saranno troppo contenti A Fisica 1 probabilmente ti perdonano. Diciamo che ti ho dato un po' il beneficio del dubbio. C'e' almeno una sommatoria che hai sottinteso (o dimenticato di scrivere), il modo di esprimere il versore e' inusuale e il dividere per al denominatore, anche se qua da' il risultato giusto facendo il conto, non mi pare corretto.

Elaboro sul gradiente con un po' piu' di formalismo.

Se e' il vettore posizione della prima particella in coordinate cartesiane, e la sua energia potenziale in funzione della posizione, e' corretto scrivere:

Qui sopra le derivate sono calcolate in , lo puoi anche esplicitare scrivendo se vuoi.

Queste espressioni sono semplici in questo caso in cui abbiamo fissato coordinate cartesiane . In generale, il vettore forza e' ottenuto dalla energia potenziale con l'operazione di gradiente che trasforma uno scalare in un vettore: . La delta rovesciata si chiama (e in LaTeX si esprime come) nabla, anche se quando si legge in genere si dice "gradiente di U" piu' spesso che "nabla di U". In coordinate cartesiane, il gradiente si calcola come scritto qua sopra, ovvero le coordinate del gradiente sono le derivate del potenziale rispetto ad ogni coordinata. Nel caso generale di espressioni vettoriali puo' essere difficile da calcolare senza passare in coordinate, ma ci sono alcune regole, simili al calcolo delle derivate, che permettono di farlo. Il modo di dimostrare questo regole in fondo e' quello di dimostrarle in coordinate, ma una volta che si sanno, si possono usare. La funzione:



Ha gradiente:

E quindi

Che poi e' la forza di Coulomb, cioe' forza diretta lungo la congiungente, repulsiva se le cariche hanno lo stesso segno, e in modulo proporzionale al quadrato della distanza, infatti vedi una potenza di distanza al numeratore e tre al denominatore. L'ho scritta cosi' perche' non mi viene in mente un modo comodo per scrivere il versore che va da a , scrivere non mi sembra corretto perche' se e sono i due versori individuali allora non e' vero che la loro differenza ha per forza modulo uno, e si puo' usare ma non mi piace l'ambiguita' sul fatto se va da 1 a j, oppure da j a 1.

Come ho calcolato il gradiente qua sopra? Mi ricordo che , e con un po' di accortezza capisco che il sottrarre un altro vettore al denominatore non cambia granche'. Dato che non calcolo gradienti spesso, per confermare che lo sto calcolando giusto, ho anche espresso a mente nel caso bi-dimensionale, ho calcolato a mente le derivate parziali di questa formula, e mi sono accertato che il gradiente espresso in coordinate mi dia la stessa formula di qua sopra.

Finora comunque abbiamo solo ri-espresso il problema in forma algebrica, ma ancora non e' risolto

[bosone]

Mi si è guastato il PC. Comunque altro che controllare le mie affermazioni, grazie a Torros ci hai fatto una vera e propria lezione che devo studiare ancora non sono a quel livello.....

[Higgs]

Sono bosone. In seguito al guasto del computer e alla perdita della pw non posso usare bosone e ho dovuto registrarmi di nuovo come Higgs, si capisce...
Allora secondo la tua scrittura (che nella sostanza è anche la mia ma formalmente corretta: non c'è bisogno di 1/2 perchè j>i)) abbiamo e per cui l'energia potenziale elettrostatica sarà
e tutte calcolate in
Ora secondo la prima parte del testo si suppone che e si domanda se il sistema è in equilibrio ovvero se
per ogni i. E' interessante intanto osservare l'espressione di : si tratta di addendi ciascuno dei quali rappresenta una somma relativa a con i=1,2....n. Ma siccome j>i ha una somma di n-1 addendi, di n-2 addendi.......di un solo addendo in coppia con. Già trovo difficoltà a immaginare come si possa supporre allora se non pensando che ciascun debba annullarsi autonomamente ma non vedo come l'ultimo formato da e possa annullarsi se non c'è un altro addendo ad esso opposto.
Ora si osserva anche che cariche i,j delle stesso segno danno luogo ad addendi positivi e cariche i,j di segno opposto ad addendi negativi. Supponendo di avere n cariche di cui p positive e n-p negative mi verrebbero le combinazioni semplici di addendi positivi originati dall'accoppiamento di due cariche positive e addendi sempre positivi originati dall'accoppiamento di due cariche negative. Ci sarebbero poi addendi con il segno negativo che mi risultano in numero diverso dai precedenti. Non capisco come possa essere immaginata nulla.
Probabilmente c'è qualcosa che non vedo cioè non ci ho capito un tubo!

[Pigkappa]

Non è difficile immaginare un sistema in cui U=0... Non c'è bisogno che i termini si annullino singolarmente, né a coppie, basta la somma sia nulla. Considera 3 cariche, due positive e una negativa, non uguali in modulo ma scelte opportunamente, poste ai vertici di un triangolo equilatero.

[Higgs]

Si hai ragione. Infatti io avevo considerato un sistema ancora più banale: tre cariche allineate distanti da sinistra a destra 2C(- Mi risulterebbe Ma una rondine non fa primavera..Bisognerebbe trovare un controesempio cioè un sistema squilibrato che ha