SNS 2022/5 Ciclo reversibile adiabatiche e isobare

[bosone]

Una mole di gas ideale avente rapporto di calori specifici compie il ciclo a>b>c>d>a schematizzato nel piano pressione-volume (Edit: non so riportare la figura ma penso che si capisca). Le trasformazioni a>b e c>d sono adiabatiche reversibili, le trasformazioni b>c e d>a sono isobare reversibili.
i) Si rappresenti il ciclo nel piano temperatura-entropia, determinando in particolare in quali punti del ciclo si raggiungono la temperatura massima e quella minima .
ii) Per valori fissati di e si determini per quale valore del rapporto il lavoro fornito dal ciclo è massimo.
iii) Per il valore di che massimizza il lavoro fornito, si determini il rendimento del ciclo in funzione di e di .

(Potrebbe essere utile l'informazione seguente: la funzione f(x)=x+/x , per x>0 con ,ha il minimo nel punto x=)

[bosone]

E' quasi un mese che ho postato il problema e nessuno si è mostrato interessato. Ritengo opportuno proporre la mia soluzione la prossima settimana se nessuno interverrà.

[Pigkappa]

E' quasi un mese che ho postato il problema e nessuno si è mostrato interessato. Ritengo opportuno proporre la mia soluzione la prossima settimana se nessuno interverrà.

Yes please

[bosone]

i) Siano a,b,c,d disposti in senso orario con a,d appartenenti all'isobara inferiore e pertanto con . Dalla equazione dell'adiabaticain T,V essendo. Analogamente risulta .Per cui

ii)Considerando le equazioni delle adiabatiche nelle variabili P,T e l'uguaglianza dei rapporti fra le pressioni in a,b e c,d risulta.
Da queste uguaglianze si deduce . Considerando ora il lavoro come differenza fra il calore assorbito b>c e quello ceduto d>a si ottiene che è palesemente massimo quando la parentesi tonda è minima. Essa può scriversi Si cerca insomma il che rende minima l'espressione e,approfittando del suggerimento del testo, si trova . Vista la relazione fra le due temperature avremo ovvero il lavoro del ciclo è massimo quando b,d appartengono alla stessa isoterma. Si ottiene


iii) Il rendimento del ciclo reversibile sarà dove sono rispettivamente il calore assorbito nell'isobara a pressione maggiore e il calore ceduto in quella a pressione minore. E' facile verificare che è compresa fra 0 e 1.

[Pigkappa]

Mi sembra giusto. Bello il trucco di dire che la somma dei calori scambiati è il lavoro del ciclo, per evitare conti peggiori, sicuramente lo ricordavo in passato ma lo avevo scordato. Possiamo verificare che il rendimento del ciclo è minore di quello di Carnot?
(sì, è relativamente facile)

[bosone]

Si infatti basta mostrare cheovvero cheche è palesemente vero