).Rimbalzi su un piano inclinato
Rimbalzi su un piano inclinato
Una pallina, che all'inizio viaggia orizzontalmente, rimbalza contro un piano inclinato di un'angolo 
rispetto all'orizzontale. All' n-esimo rimbalzo essa si scontra perpendicolarmente col piano. Determinare . (Naturalmente si considerino tutti gli urti elastici, e il piano privo di attrito ).
).''Aoh, ma che sète tutti dè 'a lazio !?'' (cit. autista romano sulla maglia ufficiale dell'IPhO Team)
Re: Rimbalzi su un piano inclinato
Consideriamo un sistema cartesiano con assi x e y parallelo e perpendicolare al piano inclinato rispettivamente. In particolare l’asse x ha il verso della salita e l’asse y è diretto verso l’esterno del piano.
Tra un urto “i” e il successivo “i+1” si hanno le seguenti componenti delle velocità:
L’ordinata
si annulla per 
.
Un istante prima dell’impatto si ottiene
Appena dopo l’urto elastico si ricava
Rapportando membro a membro si giunge a
dove
, 
sono gli angoli che formano le direzioni della velocità con l’asse y subito dopo i due urti successivi, mentre è l’angolo tra la verticale ed y, uguale all’angolo del piano inclinato con l’orizzontale. Iterando la precedente relazione si ha
 \tan \alpha)
Poiché
si perviene a
 \tan \alpha)
Ma la velocità dell’ennesimo urto deve essere ortogonale al piano e quindi
da cui discende che
}})
Tra un urto “i” e il successivo “i+1” si hanno le seguenti componenti delle velocità:
L’ordinata
Un istante prima dell’impatto si ottiene
Appena dopo l’urto elastico si ricava
Rapportando membro a membro si giunge a
dove
Poiché
Ma la velocità dell’ennesimo urto deve essere ortogonale al piano e quindi
Re: Rimbalzi su un piano inclinato
Anch'io avevo pensato a un sistema di riferimento come quello che hai posto tu, poi non ho pensato di scrivere la relazione ricorsiva...
Spettacolo!!
Spettacolo!!
"Io stimo più il trovar un vero, benché di cosa leggiera, che 'l disputar lungamente delle massime questioni senza conseguir verità nissuna." (Galileo Galilei)
La potenza della Termodinamica risiede nella sua Assoluta Generalità.
La potenza della Termodinamica risiede nella sua Assoluta Generalità.
Re: Rimbalzi su un piano inclinato
Per chi non avesse molta dimestichezza con gli angoli e iterazioni, posto il ragionamento che avevo fatto, che è sicuramente meno elegante di quello di pascal, ma forse più 'spiccio' 
La prima parte è praticamente analoga ai passaggi di pascal. Ponendoci infatti nello stesso sistema di assi cartesiani si ha:
E, essendo la velocità verticale la stessa appena dopo ogni rimbalzo, il periodo fra un rimbalzo e quello dopo è lo stesso, ed è
.
Ora, all'n-esimo rimblazo, essendo questo perpendicolare col piano, allora
, e il tempo totale trascorso è \cdot t=2(n-1){v_{y0} \over g_{y}})
. Da cui:
{v_{y0} \over g_{y}} \Rightarrow v cos\alpha= gsen\alpha2 (n-1) {vsen\alpha \over gcos\alpha})
Da cui si ha proprio})
.
Penso che alla fine il grosso del lavoro in questo caso è quello di trovare il sistema di riferimento più conveniente.
La prima parte è praticamente analoga ai passaggi di pascal. Ponendoci infatti nello stesso sistema di assi cartesiani si ha:
E, essendo la velocità verticale la stessa appena dopo ogni rimbalzo, il periodo fra un rimbalzo e quello dopo è lo stesso, ed è
Ora, all'n-esimo rimblazo, essendo questo perpendicolare col piano, allora
Da cui si ha proprio
Penso che alla fine il grosso del lavoro in questo caso è quello di trovare il sistema di riferimento più conveniente.
''Aoh, ma che sète tutti dè 'a lazio !?'' (cit. autista romano sulla maglia ufficiale dell'IPhO Team)
Re: Rimbalzi su un piano inclinato
Grazie, molto gentili.
Vorrei soltanto evidenziare che si può evitare di interpretare la relazione da me indicata in termini di ricorsione. Basta osservare che
diminuisce della quantità costante 
in ogni urto, dopo la collisione iniziale, con un decremento totale di  2 \tan \alpha)
.
Vorrei soltanto evidenziare che si può evitare di interpretare la relazione da me indicata in termini di ricorsione. Basta osservare che