Tratterò il fotone classicamente come una particella puntiforme di massa
. Suppongo inoltre
, cosicché la deviazione subita dal fotone a causa della gravità è molto piccola e può essere calcolata sovrapponendo l'effetto della forza gravitazionale a una traiettoria rettilinea del fotone, la cui distanza minima da
è
. Questa approssimazione, benché non necessaria nel primo punto (poiché è nota l'espressione della traiettoria di una particella in un potenziale newtoniano), diventa molto utile nel secondo, a causa della forma del potenziale, e dà comunque lo stesso risultato al primo ordine in
.
1) Sia
la posizione di
,
la posizione del fotone e
il punto della sua traiettoria rettilinea a distanza
da
. Quando l'angolo
vale
, la distanza
vale
, perciò la forza subita dal fotone ha modulo
, e la sua componente perpendicolare alla traiettoria è
. A questa forza corrrisponde un'accelerazione trasversale
. Inoltre, la velocità del fotone lungo la retta può essere considerata costante e uguale a
, perciò si ha:
}{\text{d}t}=\frac{r_0 \dot \theta}{\cos^2 \theta})
Da cui:
A questo punto, integrando in
da
a
, si ottiene
, e l'angolo di deflessione può essere stimato come
, che è molto minore di uno, consistentemente con l'assunzione fatta.
2) Procedendo come sopra, devo sommare alla deviazione già calcolata quella dovuta al termine aggiuntivo nel potenziale, ovvero, essendo
il momento angolare del fotone rispetto a
:
L'accelerazione trasversale corrispondente è data da:
}{\text{d}r}=\frac{3GM\cos^5 \theta}{r_0^2})
Perciò:
Cioè il doppio della previsione "classica". In questo caso l'angolo totale di deflessione risulta allora:
Grazie per la segnalazione