281 - Goccia d'acqua

[DeoGratias]

Si assuma che una nuvola sia formata da piccole goccioline d'acqua, uniformemente distribuite e immobili, sospese in aria. Consideriamo una goccia di pioggia che ci cade attraverso: qual è la sua accelerazione? Si assuma anche che inizialmente questa sia di dimensioni trascurabili e che si mantenga sempre sferica.

[Luca Milanese]

Assumo che la densità della goccia sia costante e che le goccioline di cui è composta la nuvola possano essere trattate come una densità uniforme e costante eventualmente diversa da . Assumo inoltre che la goccia, urtando le goccioline della nuvola, le assorba. Scendendo di un tratto , la goccia, il cui raggio istantaneo è , spazza un volume , e assorbe quindi una massa . Questa si traduce in una variazione del raggio della gioccia tale che . Si ottiene allora:
, perciò, se il raggio iniziale della gioccia è trascurabile:

Da cui si ricava la massa della goccia in funzione della distanza percorsa:

Considerando il sistema costituito dalla goccia e dalle goccioline che sta per assorbire, ho che la forza esterna totale agente su di esso è data dal peso della goccia, essendo le goccioline in equilibrio, e che la sua quantità di moto è quella della goccia; perciò, detta la sua velocità:

Moltiplicando entrambi i membri per si ottiene:

Senza procedere ulteriormente ad integrare, si riconosce che questa relazione fra spostamento e velocità è tipica di un moto rettilineo uniformemente accelerato di accelerazione , che è dunque quella cercata.

[DeoGratias]

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