275. Campo elettrico intermittente

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 9 ott 2021, 21:11

In una zona dello spazio è presente un campo magnetico uniforme e costante $\vec B= B \hat z$ . Una particella di massa $m$ e carica $q$ , inizialmente ferma, è libera di muoversi nel campo. Tramite un interruttore è possibile indurre un campo elettrico uniforme $E\hat x$ per un tempo $\tau$ . Supponiamo che il campo elettrico venga acceso e spento con periodo $\Delta t$ (cioè viene acceso ai tempi $n\Delta t$ e spento ai tempi $n\Delta t + \tau$ ), e valgano le disuguaglianze $\tau \ll \Delta t \ll \frac{2\pi m}{Bq}$ .
a) Dimostrare che la quantità di moto della particella subito dopo l' $n$ -esimo spegnimento del campo elettrico può essere espresso come somma di $n$ vettori complanari $\vec p_i$ di uguale modulo (indipendente da $n$ ) e tali che l'angolo tra $\vec p_{i-1}$ e $\vec p_i$ sia uguale all'angolo fra $\vec p_i$ e $\vec p_{i+1}$ .
b) Supponiamo ora che il campo elettrico alterni polarità: ai tempi $(2n)\Delta t$ è $E \hat x$ , ai tempi $(2n+1)\Delta t$ è $-E\hat x$ . Qual è la velocità vettoriale media della particella calcolata su un tempo molto lungo rispetto a $\frac{2\pi m}{Bq}$ ?

Messaggio da **DeoGratias** » 13 ott 2021, 16:45

#piùcomplessisulforum!

Intanto carico la prima parte, tra poco dovrei postare anche la seconda:
Parte a) Notiamo innanzitutto che dopo l'n-esimo spegnimento, la particella si muoverà su una circonferenza di raggio $r_n=\frac{P_n}{qB}$ , dove $P_n$ è il modulo della quantità di moto n-esima, che rimane costante tra spegnimento e accensione. Lo spostamento angolare in ogni intervallo $\Delta t$ equivale all'angolo di cui ruota il vettore q.d.m. tra spegnimento e accensione, che è $\theta=\frac{v_n \Delta t}{r_n}=\frac{qB\Delta t}{m}$ ; quindi l'angolo di rotazione rimane costante, indipendentemente da $n$ . L'impulso ricevuto a causa del campo sarà $\vec{J}=q\tau E\hat{x}$ ; visto che $\tau \ll \Delta t$ , può essere considerato istantaneo.
La q.d.m. $\vec{P_1}$ inizialmente sarà parallela ad $\vec{E}$ (all'istante dell'accensione, $\vec{P_1}=q\tau E\hat{x}$ ), poi ruoterà di un angolo $\theta$ nell'intervallo $\Delta t$ , quindi si sommerà con $\vec{J}$ istantaneamente, diventanto $\vec{P_2}$ . A sua volta, questo vettore ruoterà di $\theta$ in $\Delta t$ , poi si sommerà con $\vec{J}$ e così via.
Si può usare il piano complesso per facilitare i conti, ponendo l'asse x coincidente con quello reale, l'asse y con quello immaginario. Il processo appena illustrato corrisponde a porre $\left\{\begin{matrix} P_1 \in \mathbb{R^+} \\ P_n=P_{n-1}e^{i\theta}+P_1 \end{matrix}\right.$
Si può dimostrare facilmente per induzione che $P_n=P_1(1+e^{i\theta}+...+e^{i\theta(n-1)})$ per $n>1$ ; segue che $|P_k-P_{k-1}|=P_1$ e che $P_k-P_{k-1}=P_1e^{i\theta (k-1)}\equiv p_k$ per $k \leq n$ intero.
Perciò, ogni vettore $\vec{P_n}$ può essere scritto come somma di $n$ vettori $\vec{p_k}$ di modulo $qE\tau$ , con $\vec{p_1}=q\tau E\hat{x}$ tali che l'angolo tra $\vec{p_k}$ e $\vec{p_{k-1}}$ è sempre $\theta$ .

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 13 ott 2021, 19:22

Per la prima parte ci siamo! (E sono contento di vedere che abbiamo pensato la stessa soluzione

)

Messaggio da **DeoGratias** » 14 ott 2021, 15:39

Per la seconda parte valgono gli stessi ragionamenti, solo che la relazione di ricorrenza diventerebbe $\left\{\begin{matrix} P_1 \in \mathbb{R^+}\\ P_{2m}=P_{2m-1}e^{i\theta}-P_1\\ P_{2m+1}=P_{2m}e^{i\theta}+P_1 \end{matrix}\right.$
Quindi, $P_n=(-1)^{n-1}P_1(1-e^{i\theta}+e^{2i\theta}-...+(-1)^{n-1}e^{i(n-1)\theta})=P_1\frac{e^{in\theta}+(-1)^{n-1}}{1+e^{i\theta}}$
Il valore medio di $P$ dopo $n$ accensioni, con $n$ molto grande, sarà pari a $\left \langle P \right \rangle_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{\left \langle P_k \right \rangle}{n}$ , dove $\left \langle P_k \right \rangle$ è il valore medio di $P$ tra la $k$ -esima e la $k+1$ -esima accensione. Visto che in tale intervallo $P$ ruota in maniera uniforme di un angolo $\theta$ , $\left \langle P_k \right \rangle=P_ke^{i\frac{\theta}{2}}=\frac{P_1}{2cos\frac{\theta}{2}}(e^{ik\theta}+(-1)^{k-1})$
Da qui otterrei che per $T$ molto grande si può assumere $n\rightarrow \infty$ , la media dei moduli della quantità di moto tenderebbe a un valore finito, mentre $\left \langle P \right \rangle_n=\frac{P_1}{2cos\frac{\theta}{2}}\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\sum_{k=1}^{n}\frac{e^{ik\theta}+(-1)^{k-1}}{n}= 0$ , visto che il vettore tenderebbe a continuare a ruotare senza convergere verso una direzione precisa, e quindi anche la velocità vettoriale media tenderebbe a zero

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 15 ott 2021, 18:51

Va bene, puoi andare col 276, tuttavia ti faccio notare che non è vero che $\langle P_k \rangle = P_k e^{i\frac{\theta}{2}}$ , perchè $\langle e^{ix} \rangle \neq e^{i\langle x\rangle}$ . Inoltre, non è neanche necessario considerare $\langle P_k \rangle$ al posto di $P_k$ , dal momento che così facendo ti limiti a moltiplicare tutte le q.d.m. per una stessa quantità non nulla (non influendo sul fatto che la loro media risulti alla fine nulla).

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