261. Semicilindro su un piano

[Pigkappa]

Nota: servono sia risposte simboliche che numeriche per ogni domanda tranne la 3. Usa i valori numerici m, kg, kg, .



Un semicilindro di massa e raggio e di composizione uniforme poggia su un piano nella posizione di equilibrio, come in figura. Siano , ed rispettivamente il centro del cilindro, il suo baricentro, ed il punto di contatto con il piano.

1. Sia la lunghezza . Determina in termini di .
2. Sia il momento di inerzia del semicilindro rispetto ad O. Si determini in termini di ed .

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Considera la situazione in figura. In questo caso, una particella di massa cade sullo spigolo del semicilindro da una altezza . La particella rimane attaccata dopo l'urto. Per rispondere alle domande 3 e 4 assumi che il semicilindro ruoti senza strisciare attorno al punto di contatto con il piano sia durante l'urto che dopo l'urto. Sia il rapporto tra le masse.

3. Si calcoli , la velocita' angolare di rotazione attorno ad O subito dopo l'urto. Si esprima in termini di , , e .
4. Si determini il minimo valore dell'altezza necessario affinche' la massa arrivi a toccare il suolo. Si esprima in termini di , e .
5. Determina il minimo valore del coefficiente di attrito statico tra semicilindro e piano per assicurare che non ci sia strisciamento durante l'urto. Esprimi il risultato in termine di .

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Considera la situazione in figura. In questo caso, una particella di massa e' attaccata ad uno spigolo del semicilindro.

6. Nella posizione di equilibrio, l'angolo tra superficie liscia del semicilindro ed il piano orizzontale e' . Determina in termini di .
7. (facoltativo) Il semicilindro ruota attorno ad O senza strisciare, compiendo piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio. Determina dove e' il periodo delle oscillazioni. Esprimi il risultato in termini di , , . Puoi anche includere nella tua formula.

[matteofisica]

Rispondo al primo quesito in attesa di farmi venire qualche idea per il secondo.
Pongo il semicilindro in un sistema di riferimento ortogonale in cui l'asse y contiene la retta a cui appartengono C, G ed O e l'asse x contiene il diamentro del semicilindro.
,
dove, indicando con la densità del semicilindro e con lo spessore,
(nell'ultimo passaggio ho usato la condizione di appartenenza alla semicirconferenza)
Dunque, l'integrale di interesse diventa:

che dà come risultato


Sostituendo R=1.0 m si ottiene m

Credo che per risolvere il secondo punto serva ragionare un po' con le somme/differenze di momenti d'inerzia usando il teorema di Huygens-Steiner, ma al momento non vedo niente...

[matteofisica]

Forse ho risolto anche il 6.
Nella figura, pongo l'origine del sistema di riferimento ortogonale nel punto O. Le forze che esercitano un momento rotazionale sono il peso della sferetta e il peso del semicilindro, che possiamo immaginare concentrato tutto nel punto G.
Dato che, per avere l'equilibrio, la somma dei momenti deve valere 0, abbiamo che:

e dunque, semplificando, si ricava .
Sostituendo i dati forniti si ottiene

Spero di non aver scritto inesattezze!

[Pigkappa]

Si' questi due sono giusti

[matteofisica]

Per quanto riguarda le piccole oscillazioni, direi che il punto O compie un moto armonico lungo l'asse orizzontale, dovuto alla somma delle componenti lungo x delle reazioni vincolari del semicilindro rispetto alla sferetta e del piano rispetto al semicilindro. Esse hanno verso opposto.
Dunque, scrivendo , si ottiene .
Spostando tutto al primo membro e prendendo la radice quadrata di entrambi i membri si ottiene:

e, separando la frazione, si ha:
rad/s, che corrisponde ad un periodo di oscillazione s.

Spero sia tutto giusto: è la prima volta che svolgo un esercizio sulle piccole oscillazioni attorno a un punto!

[Pigkappa]

Hai invertito il significato di rispetto al testo. Usa anzi per favore.

Se e' infinito (cioe' e' zero), cosa ottieni?

[matteofisica]

E' vero, ho letto male! Dunque la pulsazione è .
Modifico anche la formula del post di ieri per l'angolo di equilibrio:


Se è infinito, l'angolo di equilibrio viene 0 e dunque anche la pulsazione assume tale valore (). Di contro, il periodo delle oscillazioni è infinito, poiché la pulsazione compare al denominatore nella formula.

[Pigkappa]

E ti sembra giusto come risultato? Se la particella non c'è e rimane solo il semicilindro, non deve oscillare intorno alla posizione di equilibrio con un periodo che non è infinito?

[matteofisica]

Mi scuso per la mia ignoranza in materia, ma non capisco se il periodo delle oscillazioni in assenza della sferetta debba essere uguale a 0 o diverso da 0 ma comunque finito.
Anche se non vedo che cosa possa causare le oscillazioni...

[Pigkappa]

Ti sei scordato la forza di attrito che agisce in O per far si' che il semicilindro ruoti senza strisciare.

E quella non e' facile da calcolare...