227. Rettangolo appoggiato sul cerchio

[Luca Milanese]

Abbiamo un cerchio di raggio fissato a terra in modo che la sua circonferenza giaccia in un piano verticale. Un oggetto di massa uniformemente distribuita , che ha la forma di un rettangolo di lati lunghi e e dallo spessore trascurabile, è poggiato sul cerchio, in modo che il rettangolo si trovi nello stesso piano del cerchio e che il lato di contatto sia . L'attrito fra oggetto e cerchio impedisce che ci sia scivolamento relativo. Inizialmente l'oggetto è in equilibrio, quindi gli viene data una piccola spinta laterale. Dire:
1) sotto quali condizioni possono esserci piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio;
2) la pulsazione delle piccole oscillazioni.

[bosone]

Scusa ma non vedo il ruolo di R se non che il rettangolo deve entrare dentro il cerchio. Mi sembra poi contraddittorio almeno parzialmente che il rettangolo sia nello stesso piano verticale del cerchio e che ci sia il lato di contatto 2b mentre il contatto dovrebbe essere con tutta la superficie del rettangolo. Se vedi che dipende da me non mi rispondere nemmeno che io capirò.

[Luca Milanese]

Ti rispondo perchè in effetti non sono stato chiarissimo nel tradurre il testo e dunque è meglio specificare: cerchio e rettangolo non sono sovrapposti e non possono sovrapporsi, giacciono nello stesso piano nel senso che il rettangolo sta verticalmente poggiato sul cerchio (e il punto di contatto è punto medio del lato ). Se ancora non si capisce bene, dimmelo che provo a chiarire ancora.

[bosone]

Sono proprio duro ma non vedo. Se è su un piano verticale parallelo a quello del cerchio e poggia sul cerchio come fa a contattarlo prima solo con un lato ora addirittura solo con un punto. Poi perchè R? In che posizione sta il rettangolo rispetto al centro del cerchio? E' possibile saperlo o deve essere dedotto? Grazie e scusa ancora.

[Luca Milanese]

Cerchio e rettangolo non sono su due piani paralleli, sono proprio nello stesso piano verticale. Le due figure sono tangenti esternamente, non penso di poter essere più esplicito di così.

[bosone]

Faccio il primo tentativo. Detta N la reazione del cerchio sul rettangolo perpendicolare al loro piano e il coef. d'attrito abbiamo dal dato sull'equilibrio che . D'altra parte la forza per unità di area (pressione) esercitata dal cerchio sul rettangolo deve uguagliare quella esercitata dal rettangolo appoggiato sul cerchio. Cioè dove F è la forza esercitata dal rettangolo appoggiato sul cerchio che risulta quindi . Essa moltiplicata per che giustamente si elide origina la forza di attrito esercitata dal cerchio sul rettangolo. Per unità di lunghezza tenuto conto del lato di 2b di contatto sarà . Le condizioni delle piccole oscillazioni derivanti dalla piccola spinta laterale che tende a spostare il CM del rettangolo dalla sua posizione di equilibrio sono in primo luogo la stabilità della condizione di equilibrio ( un allontanamento tende infatti a riportare il CM nella posizione iniziale)e una spinta che provochi una piccola vibrazione x su cui la forza di richiamo dovrebbe essere la forza di attrito generata dal cerchio ovvero la forza di attrito per unità di lunghezza moltiplicata per x. Da notare che essa è largamente maggiore della forza di richiamo ottenuta considerando il rettangolo come un pendolo appeso al punto medio di 2b. L'equazione diventa e otterrei una pulsazione

[Luca Milanese]

La risposta è sbagliata e, dato che parli di una reazione perpendicolare al piano di rettangolo e cerchio, ho paura che di nuovo tu non abbia capito il testo. Provo a spiegare come sono posizionate le due figure con le coordinate cartesiane.
Il piano è verticale, il terreno è definito da . Il cerchio è fissato, ha centro nel punto e raggio . I quattro vertici del rettangolo si trovano inizialmente nei punti ,, e . Il moto del sistema si svolge totalmente in questo piano. La spintarella iniziale è data lungo .
Mi sono inoltre accorto di non aver specificato che il momento di inerzia del rettangolo rispetto a un asse ad esso perpendicolare e passante per il suo centro può essere considerato noto (). In ogni caso, volendo lo si può calcolare.

[bosone]

Ho visto un altro problema ma, dato che chi si accontenta gode, mi autoassolvo pienamente. Infatti il testo poteva dire che il rettangolo era appoggiato sulla circonferenza del cerchio e che da questo derivava l'equilibrio e non dall'attrito cerchio-oggetto come invece lascia intendere.

[bosone]

Tento allora la soluzione del problema da te didascalicamente postato...Perchè si possano innescare le piccole oscillazioni è necessario che la posizione iniziale sia di equilibrio stabile. La condizione necessaria è secondo me che R>a. Infatti se il rettangolo ruota di un angolo ,poniamo in senso orario, il punto di contatto percorre sulla circonferenza l'arco e la sua ascissa varia di . Il CM percorre l'arco e la sua ascissa varia di . Pertanto si vede che se il CM "rimane indietro" rispetto al punto di contatto il momento della forza peso innesca una rotazione antioraria e tende a riportare il rettangolo nella posizione iniziale che è pertanto di equilibrio stabile. Affiché deve essere R>a. Al contrario accadrebbe se R<a nel qual caso il momento del peso accentuerebbe la rotazione oraria. Allora la spinta orizzontale con R>a sia tale che e consideriamo l'atto istantaneo di moto come una rotazione attorno ad un asse perpendicolare al piano passante per il punto di contatto C. Se avremo (distando i due assi di a) per cui con cui, se non sbaglio i conti, arriverei ad una pulsazione

[Luca Milanese]

Per , il cui calcolo comunque non era richiesto, mi viene un risultato diverso, . Forse hai dimenticato che i lati misurano e , non e ?
Per il resto, e tenuo conto di questa correzione, procedimento e risultato finale tornano, così come la condizione . Se non vuoi il testimone, chiedo allora a chiunque abbia un problema da proporre di continuare al mio posto.