223. Insetto su un'asta

[alfredark04]

Un'asta leggera è ferma, appoggiata con un'estremità ad un muro verticale e l'altra su un pavimento orizzontale.
Un insetto vuole strisciare sull'asta, dalla cima al punto più basso.
*)Come dovrebbe l'accelerazione dell'insetto dipendere dalla sua distanza dalla cima dell'asta per fare in modo che l'asta sia in equilibrio per tutto il moto dell'insetto?
La massa dell'insetto è m, la lunghezza dell'asta l, l'angolo tra pavimento e asta è α, l'asta ha massa trascurabile e tutti gli attriti sono trascurabili.

*)Quanto tempo ci mette l'insetto ad arrivare a terra?

[Luca Milanese]

Sia il modulo della reazione normale esercitata dal muro sull'asta, e la distanza dell'insetto dalla sua cima. Consideriamo il sistema insetto-asta: poichè la massa dell'asta è trascurabile, possiamo considerare la posizione dell'insetto in ogni istante come posizione del centro di massa del sistema, e la sua massa totale come uguale a . L'unica forza orizzontale agente sul sistema è , pertanto, essendo l'accelerazione orizzontale dell'insetto uguale a , si ha:

Prendendo come polo il punto di contatto fra asta e pavimento, si nota che il momento angolare totale del sistema è nullo, in quanto la velocità dell'insetto è parallela alla sua posizione rispetto a . Ne segue che anche il momento torcente totale agente sul sistema è nullo, perciò:

Eliminando dalle due equazioni si ricava:

La soluzione di questa equazione differenziale, tenuto conto che , è:

Da qui si osserva che l'insetto giunge a terra quando , cioè per:

[alfredark04]

Corretto.
Puoi passare al 224.