Chiamo
la reazione normale fra perlina e anello, e
la reazione nornale fra anello e terreno. Per motivi di simmetria, le due perline, cadendo, si troveranno entrambe sempre alla stessa altezza e formeranno sempre lo stesso angolo rispetto alla loro posizione iniziale, che chiamo
. Dal momento che non ci sono attriti, vale la conservazione dell'energia per ciascuna delle due palline:
+\frac{mR^2\omega^2}{2} \Rightarrow 2mgR(1-\cos\theta)=mR^2\omega^2)
=R\omega^2)
Dove
è il raggio dell'anello e
è la velocità angolare di una perlina.
Eguagliando la risultante delle forze agenti radialmente su una perlina alla forza centripeta si ottiene:
. Ricavando
da questa equazione e inserendo nella precedente ottengo
:
)
.
Ora considero le forze agenti sull'anello. Se esso non si solleva da terra, la loro risultante è nulla:
. Sostituendo il valore di
ricavato prima:
.
La reazione normale
è sempre non negativa, quindi la condizione cercata si ottiene imponendo che la disequazione
sia valida per ogni angolo
:
.
Questa è una disequazione di secondo grado in
, sempre soddisfatta se
:
.
Quindi il valore massimo cercato è
.
