202. Corsa sul ghiaccio

[bosone]

Un ragazzo sta correndo su un campo gelato con velocità v=5 m/s verso Nord. Il coefficiente di attrito fra le sue scarpe e il terreno è Assumiamo per semplicità che la reazione del campo rimanga costante. (L'assunzione è giustificata considerando il suo valore come quello medio di un passo dato che in realtà varierebbe ad ogni relativa spinta).
1) Qual è il tempo minimo necessario al ragazzo per cambiare direzione verso Est in modo che la sua velocità finale sia ancora v=5 m/s?
2) Qual è la forma della traiettoria ottimale per questo cambio di direzione?

[east_beast]

1)
2) Una circonferenza di raggio ?

[bosone]

1) Il risultato contiene un errore di circa il 10% per cui bisognerebbe che tu scrivessi la formula da cui hai derivato il numero per valutare se è una questione tecnica (una tua approssimazione) o concettuale. 2) E' proprio sbagliata

[east_beast]

A probabilmente sbagliato, ma vabbè.
Avevo pensate che siccome è costante allora l'accelerazione dev'essere centripeta, quindi . Se la forza di attrito è costante in modulo, allora siccome v è costante R dev'essere costante, da cui segue una traiettoria circolare uniforme. (un quarto di circonferenza in realtà) Ha senso?

[bosone]

Mi pare allora che tu abbia dato per scontata la traiettoria circolare. Non è detto che durante la transizione, che poi significa che la velocità verso est sia alla fine v a partire da 0, il modulo della velocità sia sempre v. Ho evidenziato nel testo questa circostanza. E' alla fine che deve essere v. Applica i teoremi della meccanica ordinaria e siccome richiede il tempo minimo l'accelerazione sarà massima quando sfrutta tutta la forza disponibile...Ragiona anche poi in termini di e e sul relativo sistema. è la velocità verso Nord, quella verso Est. La prima passa da v a 0, la seconda da 0 a v

[Luca Milanese]

1) ?
2) ?

[bosone]

1) Si ma ti prego di scrivere la formula ( e la sua motivazione) da cui trovi il risultato numerico! 2) Non si vede se quello finale è un punto interrogativo o un esponente 2. Se è un punto interrogativo butta giù il procedimento dichiarando di che curva si tratta e perchè e poi potrai andare con il 203!

[Luca Milanese]

L'accelerazione fornita dall'attrito vale . In ogni istante quindi . Inoltre deve essere , dove è il tempo che cerchiamo. Ho pensato che il modo migliore per distribuire l'accelerazione fra e fosse avere , da cui si ottiene , che è circa . Poi si possono scrivere le leggi orarie e , da cui, eliminando e sostituendo ad e le espressioni scritte in precedenza, si ottiene la traiettoria. Però mi rendo conto adesso che in effetti non saprei dimostrare che proprio avendo quelle e si ottiene il tempo minimo... magari ci penso un altro po'.

[Luca Milanese]

Mi è venuta in mente una soluzione bruttissima, ma mi pare funzionare:
Per quanto scritto sopra devo avere:


Ora applico alle medie integrali di e :


Elevando al quadrato e moltiplicando per ottengo:


Infine, sommando membro a membro:

.
Quanto poi alla traiettoria, penso che basti dire che, poichè con le leggi orarie scritte sopra si ottiene proprio , allora esse (e quindi la traiettoria che ne deriva) vanno bene. In realtà penso che siano anche le uniche possibili, perchè, almeno nel caso discreto, l'uguaglianza in implica che tutti gli elementi di cui si fa la media siano uguali, e penso che lo stesso si possa dire nel caso continuo, dove quindi significherebbe che e sono costanti.
Ora però spero che esista una soluzione più semplice che non ho trovato....

[bosone]

Scusa, la risposta alla domanda 1) è corretta ma non dai con i tuoi conti la risposta alla domanda 2) che per ora è inevasa. Dici che la soluzione va bene ma non dici che forma ha la traiettoria ottimale e perchè. E' quello che esplicitamente chiede la 2). Cerchi un'altra soluzione ma non concludi quella che hai dato....Non ho capito poi che fine ha fatto l'equazione in x e y di stamani quella con il 2 o il ? per intenderci....che mi pareva promettente...va bene ripensaci..