Catena strana

[Aleksej99]

Si hanno sbarre di massa omogeneamente distribuita e per tutte uguale a e lunghezza
Le incernieriamo l'una all'altra con giunti perfettamente flessibili, di massa trascurabile, in modo da formare una sorta di catena: attacchiamo poi attraverso le sbarre agli estremi la catena ad un soffitto (molto resistente) e si ha che l'angolo tra le sbarre estreme ed il soffitto è
Nell'ipotesi si calcoli a che altezza dal soffitto pende la catena

Bonus: farlo senza integrali

[lance00]

l'ho considerata una catenaria (non penso sia lecito ) e mi viene

[Aleksej99]

Il risultato non è lontano da quello voluto ma la cosa, spero, carina del problema sta nel non usare il calcolo integrale e dunque sicuramente non dare per buono il coseno iperbolico della catenaria

[Flaffo]

Anche a me Lance, poi si semplifica in:

[Gamow00]

Anche a me viene come Flaffo e Lance.
Ho dovuto usare un integrale, ma è di una funzione lineare, quindi c'è sicuramente un modo di bypassarlo.
Indico con la densità lineare della catena e con la lunghezza di mezza catena (perchè non voglio finire con migliaia di fratto due).

Siccome la forza applicata a un'estremo della catena è tangente alla catena stessa ho che
Questa è costante lungo tutta la catena, quindi in ogni punto ho che , dove con indico la lunghezza della catena fino a un punto generico e con l'inclinazione a un punto generico.
Quindi

Per motivi geometrici

[Flaffo]

Sì, puoi anche dire che, dato che è piccolo, le variazioni sono tutte del primo ordine. L'angolo varia tra e 0 (in realtà tende a zero per n che tende a infinito perché, dato che le aste sono in numero pari, l'angolo finale avrà un certo valore molto piccolo). Per ottenere un risultato approssimato, che valga solo nel limite di n molto grande, possiamo quindi dire che la media è , perciò .

[Aleksej99]

A questo punto posto la mia soluzione dai ...

Numeriamo le sbarrette a destra partendo da quella più in basso ( per intederci), per simmetria la tensione dovuta alla sbarretta alla sua sinistra è orizzontale e vale
Per equilibrare dunque questa tensione e la forza peso agirà su questo sbarretta una forza dovuta alla numero con componente orizzontale e verticale
Per l'annullamento del momento calcolato rispetto al giunto con la sbarretta a sinistra si avrà



ovvero



Per la sbarretta -esima si avrà che



e dunque



dalla quale



Concludiamo con



Non ho fatto uso di integrali e alla fin fine funziona bene anche nel caso piccolo