144: Elettroni in un cilindro

[.Ruben.]

L'eq differenziale di aleksej é giusta (gli consiglio solo di rivedere meglio i segni)

[Gamow00]

La densità elettronica mi viene ,

mentre il campo elettrico
dove , e sono costanti semplici da calcolare ma lunghe da scrivere.

[.Ruben.]

Yes

[.Ruben.]

Se posti il procedimento e rispondi agli altri punti la staffetta è tua

[Gamow00]

Usando la notazione del mio precedente post ottengo imponendo la legge di Gauss che
Consideriamo la metà superiore del cilindro; per la legge di Gauss il campo elettrico sarà diretto verso il centro del cilindro .
Imponiamo la legge dei gas perfetti ad un disco di altezza ;
e dunque
Imponiamo ora dunque sempre sullo stesso disco l'equilibrio idrostatico ;
e dunque
Ricaviamo dunque l'equazione differenziale

Per la prima parte della soluzione mi appoggio a quella di Aleksej. L'unico errore nel suo procedimento è quello di non aver considerato il segno negativo della carica degli elettroni; finchè, però, si considera il modulo del campo elettrico e non il suo verso, non c'è alcuna differenza, quindi me ne fregherò.
Andiamo quindi a risolvere l'equazione differenziale.


Ora devo utilizzare il solito trucco della derivata di , che è uguale a . Sostituendo nell'equazione:

Chiamo
Integrando rispetto a ottengo:


Con qualche manipolazione algebrica:

Noto che posso integrare direttamente, perchè a destra ho il noto differenziale dell'arcotangente

Al posto di trascinarmi dietro , noto che per , (per questioni di simmetria il campo elettrico è nullo al centro del tubo). Sostituendo nell'equazione trovo che .


.

Ricordando che ->



Ora devo trovare il valore di . So che l'integrale da a di (moltiplicato per ) deve dare il numero di particelle nel cilindro, cioè .
L'integrale definito viene:
Si tratta di un'equazione trascendente, non risolvibile(credo ) con metodi analitici ma la cui soluzione può essere comunque trovata con metodi numerici. Adesso non ho tempo/voglia di trovarla quindi non userò il valore numerico di .

Ora gli altri punti
Come già detto, per ragioni di simmetria il campo elettrico al centro del cilindro è 0.
Il valore di al centro, invece, è , dove è la cosa bruttissima ricavata prima.

La densità media è data semplicemente da ed è evidente che dipende solo dal volume e non da carica, temperatura o costanti varie.

Per quanto riguarda l'interpretazione intuitiva: come si può vedere dal grafico di , al centro del tubo la densità elettronica sarà minore(molto minore) della densità alle estremità del cilindro. E' la stessa cosa che accade in un filo conduttore: la carica si concentra alle estremità o in altri punti acuminati.

(Probabilmente ho fatto molti errori di battitura e mi sarò dimenticato qualche costante )

[.Ruben.]

La staffetta é tua, complimenti!

[lance00]

@Ruben dove hai trovato questo problema?

[Gamow00]

Ottimo!
Ho solo una domanda...
Nella risoluzione ho usato questa equazione: .
Essa è stata ottenuta facendo il teorema di Gauss su un cilindretto infinitesimo, supponendo quindi che la variazione di flusso di campo elettrico nelle basi del cilindretto è uguale a . In pratica si sta imponendo che il flusso elettrico attraverso la superficie laterale del cilindretto è pari a zero.
Non riesco a capire come mai questa assunzione è giustificata .

[Aleksej99]

Credo sia dovuto al fatto che il cilindro è molto più alto che lungo, abbiamo insomma assunto che in generale il campo radiale é trascurabile...

[.Ruben.]

Supponiamo che ad un'altezza ci sia un campo radiale non nullo; per la simmetria cilindrica tale campo fissato raggio e altezza non dipende dall'angolo. A questo punto immaginiamo di calcolare la circuitazione del campo elettrico lungo una circonferenza perpendicolare all'altezza del cilindro all'altezza suddetta: poiché sul percorso il campo é sempre uguale, la circuitazione non sará nulla, il che é assurdo poiché il campo é esclusivamente di natura elettrostatica.
Ovviamente a tutto questo va premessa una giustificazione del fatto che non c'è campo magnetico