SSSUP: Condensatori e resistenze

[teo90]

Due condensatori di capacità C1 = 10 pF e C2 = 20 pF sono collegati attraverso un tasto T e un resistore di resistenza come mostrato in figura.

Inizialmente il tasto T è aperto come in figura ed entrambi i condensatori sono scarichi. Le due armature del condensatore C1 vengono, quindi, collegate ad una batteria di f.e.m. V0 = 4,5 V , in modo che il polo positivo della batteria risulti collegato con l'armatura superiore del condensatore C1; la batteria viene successivamente rimossa. Dopodiché il tasto T viene chiuso e si attende che il sistema raggiunga una condizione di equilibrio.

1) Si trovino i valori delle cariche elettriche Q1 e Q2 presenti sulle armature superiori dei due condensatori all'equilibrio.
Ad equilibrio raggiunto, ad un dato tempo t0, le armature di C2 vengono collegate con un resistore di resistenza (vedi figura).

2) Si trovino i valori delle correnti elettriche che attraversano i resistori R1 e R2 all’istante immediatamente successivo a t0.

3) Si trovino i valori delle cariche che si dispongono sulle armature dei due condensatori quando viene raggiunta la nuova condizione di equilibrio e si dica quale è il lavoro totale Joule che viene fatto nelle resistenze nell'intero transitorio successivo all'istante t0.

[pascal]

Il condensatore acquista la carica .
Quando si chiude il tasto, i due condensatori si compongono in parallelo presentando la capacità



La tensione comune vale



Le cariche dei due condensatori sono



Nel momento in cui si inserisce la resistenza , le cariche (e quindi le tensioni) dei condensatori restano quelle precedenti, perché e non si scaricano istantaneamente; pertanto



Alla fine i condensatori si scaricano completamente e l’energia che si dissipa per effetto Joule, dopo l’istante , è quella del parallelo

.

[Ippo]

Ho trovato un problema molto simile a questo, dato all'ammissione in Galileiana nel 2005. Visto che la situazione è praticamente la stessa, e che due delle tre domande sono uguali, anziché proporlo in un topic a parte metto qui l'unica domanda diversa, come "bonus question"

Facciamo riferimento alla parte sinistra del disegno (il circuito con C1, C2 ed R1). La resistenza R2 in questo problema non c'è. Dopo che C1 è stato caricato alla d.d.p. con una batteria, si chiude l'interruttore T e, prima che si instauri l'equilibro, si ha un transiente. Qual è il suo tempo caratteristico?

[pascal]

Rispetto alla corrente i tre elementi sono in serie.
L’equazione della maglia è:



Derivando rispetto al tempo si ha:



Perché

.

Pertanto



C= capacità di e in serie
Si risolve l’equazione differenziale e si ottiene
la costante di tempo .
Quando si completa il travaso delle cariche, i due condensatori
acquistano la stessa tensione e si dispongono in parallelo.
Si potrebbe completare imponendo le condizioni iniziali e
trovando corrente, cariche e tensioni in funzione del tempo.