130: Cariche in libertà

Aleksej99 · Messaggio da **Aleksej99** » 14 gen 2018, 21:02

Per il punto c) ;

osserviamo che la forza esercitata dal campo elettrico della sfera,in un istante $t$ , su una particella a distanza $r(r_0;t)$ dal centro e distanza iniziale $r_0$ è $F(r_0;t)= \frac{Qqr_0^3}{4 \pi \epsilon_0 R^3 r(r_0;t)^2}$ e dunque $E(r_0;t)= \frac{Qr_0^3}{4 \pi \epsilon_0 R^3 r(r_0;t)^2}$
Consideriamo il flusso del campo su una superficie sferica di raggio $r(r_0;t)$ e applichiamo il teorema di Gauss
$\Phi_E(r(r_0;t)) = \frac{r_0^3}{\epsilon_0 R^3} = \frac{q(r_0;t)}{\epsilon_0}$
Ma allora $q(r(r_0;t))=Q\frac{r_0^3}{R^3}$ e dunque $m(r(r_0;t))=M\frac{r_0^3}{R^3}$ dove con $q(r),m(r)$ indichiamo rispettivamente carica e massa all'interno di una sfera di raggio $r$ ...
Questa distribuzione è analoga a quella iniziale nella quale avevamo supposto ( almeno io lo ho dovuto fare per ottenere gli stessi risultati di lance ) che la densità fosse uniforme

Ok credo sia giunto ad una conclusione ovvia che non dimostra nulla ...

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 14 gen 2018, 22:34

Per ora non hai dimostrato niente ma sei sulla buona strada

Aleksej99 · Messaggio da **Aleksej99** » 14 gen 2018, 23:49

Unendo le espressioni di $E(r_0;t)$ e $q(r(r_0;t))$ otteniamo che $E(r) = \frac{q(r)} {4 \pi \epsilon_0 r^2}$ che é proprio il campo elettrico generato da una distribuzione sferica uniforme di carica sulla superficie della sfera... Visto che ogni contributo di carica é dato da masse tutte uguali tra loro l'uniformità della distribuzione di carica implica l'uniformità della distribuzione di massa...

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 15 gen 2018, 0:23

Aleksej99 ha scritto: ↑
14 gen 2018, 23:49
Otteniamo che $E(r) = \frac{q(r)} {4 \pi \epsilon_0 r^2}$ che é proprio il campo elettrico generato da una distribuzione sferica uniforme di carica sulla superficie della sfera...

In realtà no. Sappiamo che il campo è quello grazie al teorema di Gauss. Ma non sappiamo nulla sulla distribuzione di carica. Potrebbe benissimo essere tutta concentrata nel centro...

Aleksej99 · Messaggio da **Aleksej99** » 15 gen 2018, 16:30

Provo un altro approccio che spero funzioni, dato che mi convince di più del primo ...

Notiamo innanzitutto che per l'analisi dimensionale $r(r_0;t)$ sarà una funzione del tipo $r(r_0;t)=f(z)r_0$ dove $f(z)$ è un numero adimensionale che non dipende da $r_0$

Sia ora $\sigma(r_0;t)$ la densità di carica, avremo per quanto detto prima $\sigma(r_0;t) = \frac{q(r_0+dr;t)-q(r_0;t)}{r(r_0+dr;t)-r(r_0;t)} \cdot\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r(r_0;t)^2}$

Ricordiamo ora che $\frac{\partial q(r_0;t)}{\partial r_0}= \frac{3Qr_0^2}{R^3}$ e che $\frac{\partial r(r_0;t)}{\partial r_0}=f(z)$

Avremo dunque
$\sigma(r_0;t) = \frac{q(r_0+dr;t)-q(r_0;t)}{r(r_0+dr;t)-r(r_0;t)} \cdot\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r(r_0;t)^2} = \\ \frac{\partial q(r_0;t)}{\partial r_0} \cdot (\frac{\partial r(r_0;t)}{\partial r_0})^{-1} \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r(r_0;t)^2} = \\ \frac{3Qr_0^2}{R^3} \cdot f(z)^{-1} \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r_0^2 f(z)^2 } = \frac{3Q}{4 \pi \epsilon_0 R^3 f(z)^3}$
e notando da questa ultima uguaglianza che $\frac{ \partial \sigma(r_0;t)}{\partial r_0 }=0$ concludiamo

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 15 gen 2018, 18:49

Bella come dimostrazione!
Ti manca però da giustificare la tua assunzione iniziale. L'analisi dimensionale non basta, perché potresti avere qualcosa del tipo $r=\sqrt{c+r_0^2} \times z$ .
Prova a utilizzare l'equazione del moto

Aleksej99 · Messaggio da **Aleksej99** » 15 gen 2018, 19:09

Allora...
Dall'analisi dimensionale sappiamo che $r(r_0;t) =f(z)g(r_0)$ dove $g(r_0)$ ha dimensioni di una lunghezza e non dipende la tempo
Dall'equazione del moto abbiamo che $r''(r_0;t)r(r_0;t)=f''(z)f^2(z)g^3(r_0)=k r_0^3$ e dunque la proporzionalità tra $g(r_0)$ ed $r_0$

lance00 · Messaggio da **lance00** » 15 gen 2018, 19:42

più velocemente (se non ho sbagliato qualcosa) $\rho = \frac{r_0^2 dr_0}{r^2 dr}$ => se $r = f(k)*r_0$ è chiaramente uniforme

Gamow00 · Messaggio da **Gamow00** » 15 gen 2018, 19:57

Ok Aleksej!
A te il testimone

@lance
Mi dispiace non dartelo ancora

anche sei hai fatto i primi due punti; però lo consegno solo a chi risolve l'ultimo.
Pista anche la tua comunque! Quello che hai scritto mi sembra un ottimo inizio

lance00 · Messaggio da **lance00** » 15 gen 2018, 20:22

Allora, un guscio sferico di raggi $r_0$ e $r_0 + dr_0$ , di massa $dm$ , dopo un certo tempo $t$ si sarà espanso e avrà raggi $r$ e $r+dr$ . La densità di questo guscio (uniforme) sarà $\rho = \rho_0 \frac{4\pi r_0^2 dr_0}{4\pi r^2 dr} = \rho_0 \frac{r_0^2 dr_0}{r^2dr}$ . Chiaramente, se $r(r_0, t) = r_0 * f(t)$ , $\rho$ è uniforme in quanto non dipende da $r_0$ ma solo da $t$ . Che $r(r_0, t) = r_0 * f(t)$ sia effettivamente l'equazione giusta lo si può verificare sostituendo nell'equazione del moto (come ha fatto Aleksej99)

130: Cariche in libertà

Re: 130: Cariche in libertà

Re: 130: Cariche in libertà

Re: 130: Cariche in libertà

Re: 130: Cariche in libertà

Re: 130: Cariche in libertà

Re: 130: Cariche in libertà

Re: 130: Cariche in libertà

Re: 130: Cariche in libertà

Re: 130: Cariche in libertà

Re: 130: Cariche in libertà