122. La staffetta resuscita!

[FedericoC.]

Mi approprio indebitamente del testimone della staffetta per una buona causa!
La staffetta è una tradizione che sarebbe meglio non perdere nelle future generazioni di olimpionici, quindi è bene tenerla viva. Dato che l'ultimo problema risale ormai all'aprile di quest'anno, a causa anche del lungo periodo di inattività forzata, mi arrogo il diritto di pubblicarne un altro.


Si consideri una disco di raggio su un piano orizzontale contenente una cavità cilindrica passante per il suo centro e lunga . La velocità angolare del disco è mantenuta costante da un motore. Viene posta una pallina sferica di massa , con raggio coincidente a quello della cavità, a distanza dal centro del disco. La pallina è lasciata libera di scorrere nella cavità. Trovare:

1. il tempo che impiega la pallina a raggiungere il foro d'uscita;

2. il lavoro totale fatto dal motore per mantenere la velocità angolare costante.

[carol]

Che vuol dire staffetta?
Secondo me il testo non è chiaro e se uno non capisce il testo come fa a provare? Il disco è orizzontale o verticale? La cavità passa per il centro ma ha asse coincidente con quello del disco o con un diametro? Non conta sapere quanto è lunga la cavità o è lunga R?

[FedericoC.]

La staffetta è un metodo presente da anni sul forum atto a tenerlo vivo, oltre che utile per imparare tutti insieme. Tutti i problemi contraddistinti da un numero sono i problemi della staffetta, questo è il centoventiduesimo. Chi per primo risolve correttamente il problema postato è chiamato a proporne un altro il prima possibile.

Per il testo edito per chiarire meglio.

[carol]

Grazie per i chiarimenti sulla staffetta e sul testo.
Provo a impostare una soluzione se riesco a spiegarmi. Se pensi che potrebbe andare impiegherò qualche ora per vedere se riesco con Latex.
La pallina è soggetta alla forza centrifuga (ci sarebbe anche la forza di Coriolis che ho fatto a Geografia per i venti N-S ma è diretta contro la cavità che reagisce e non ha effetto). E' F= m.omega al quadrato.r dove r è la distanza dal centro. L'accelerazione è allora (omega al quadrato.r) ed è anche la der. seconda di r rispetto al tempo. E' allora come l'eq. del moto armonico ma la costante è positiva. Il prof ci disse che se è negativa (moto armonico) la soluzione è sinusoide se è positiva è esponenziale. Per cui dovrebbe essere
r= Rzero[exp(omega.t)] e per t=0 r=Rzero e la velocità sua derivata per t=0 è omega Rzero. La derivata seconda verrebbe (omega al quadrato. Rzero).[exp(omega.t)] cioè proprio (omega al quadrato.r) e quindi mi sembra la soluzione giusta.
1. Allora R=Rzero.[exp(omega.T)]dove T è il tempo di percorrenza, da questa dividendo per Rzero e prendendo il log ad ambo i memri per eliminare exp mi risulterebbe T= (1fratto omega). log(R fratto Rzero)
2. Penso ma non sono sicuro che il lavoro fatto dalla forza centrifuga sia uguale all'aumento di energia cinetica della pallina nel passaggio da Rzero a R e che si scarichi sul motore che deve mantenere omega costante perchè la pallina aumentando la distanza a parità di omega possa aumentare la velocità

[FedericoC.]

Il ragionamento mi torna, il tempo di uscita però non è quello che dici. Se riesci prova a postare le formule, so che all'inizio scrivere in Latex sembra scomodo, ma con poca pratica diventi un razzo

[carol]

Se dici che il ragionamento ti torna ti torna anche la soluzione di ovvero ? Ti prego di dirmi dove sbaglio perchè come si sa si impara dagli errori. Infatti se la soluzione è giusta risulta con T tempo di uscita. Prendendo il log verrebbe allora . Verrebbe così anche integrando .
Per quanto riguarda la variazione di energia cinetica uguale al lavoro che deve fare il motore per mantenere omega costante ci sono due energie cinetiche uguali derivanti dalla velocità di trascinamento e da quella relativa lungo r. A me questo lavoro verrebbe allora Ti prego ancora di dirmi gli errori

[FedeColo98]

carol ti rispondo solamente alla prima parte: l'unica cosa che sbagli è la risoluzione della equazione differenziale di secondo ordine. Se riesci a risolverla in maniera giusta ti si aggiusta tutta la prima parte

[FedericoC.]

Confermo quanto ha detto Fedecolo98, la soluzione dell'equazione differenziale di questo tipo è: dove e sono costanti opportune. Con questo chiarimento dovresti concludere facilmente.

Per quanto riguarda il lavoro mi torna tutto.

[lance00]

?

[carol]

Scusate ma avevo già provato codesta soluzione ma a me tornava come quella di prima. Infatti
r(0)=={c_1+c_2}
=
A me tornerebbe che le due condizioni sono compatibili solo se e o prendo un clamoroso abbaglio??? Sbaglio la derivata oppure sbaglio la velocità iniziale??? D'altra parte mi tornava che l'esponenziale negativo decrescente non avesse effetto vista l'acc. sempre crescente con r
Magari ditemi ancora l'errore e non il risultato, grazie