Poi è passato uno ad avvisarci di qualcosa a riguardo che neanche ho capito. Mi pare abbia detto che
L'incomprensibilità dei testi quest'anno ha raggiunto il top. Spero che si rifaccia il test
SNS 2009/2010 Problema 4
Re: SNS 2009/2010 Problema 4
Il testo originale diceva che l'astronave raggungeva un'orbita circolare di raggio 
e chiedeva l'annullamento della velocità radiale per 
(e non 
).
Poi è passato uno ad avvisarci di qualcosa a riguardo che neanche ho capito. Mi pare abbia detto che era qualsiasi, diverso da .
L'incomprensibilità dei testi quest'anno ha raggiunto il top. Spero che si rifaccia il test
Poi è passato uno ad avvisarci di qualcosa a riguardo che neanche ho capito. Mi pare abbia detto che
L'incomprensibilità dei testi quest'anno ha raggiunto il top. Spero che si rifaccia il test
Re: SNS 2009/2010 Problema 4
Comunque, ecco la mia soluzione. Do per scontato il calcolo della forza di radiazione.
Abbiamo che il lavoro svolto dall'azione combinata delle due forze nel portare il satellite da
a 
è
R^{-2}dR=)
 \left( {1 \over R_E}-{1 \over R_1}\right))
La variazione di energia (solo cinetica in quanto l'azione della gravità è inclusa nel calcolo del lavoro) è
)
dove
è la velocità tangenziale nell'orbita iniziale e le altre due sono le componenti readiale e tangenziale della velocità di arrivo.
Ora poniamo che
sia nulla e scriviamo 
per la conservazione del momento angolare rispetto al Sole, dove sappiamo che 
, e otteniamo
={GmM_{\odot} \over 2R_E} \left({R_E^2 \over R_1^2}-1\right))
Ponendo
e smanettando un po' algebricamente ricaviamo )
, il valore di A che ci porta a distanza senza velocità radiale.
 \left( {1 \over R_E R_1}\right)=-{GmM_{\odot} \over 2R_E} \left({R_E+R_1 \over R_1^2}\right))
)
={GmM_{\odot} \over 2}\left(1-{R_E \over R_1}\right))
={2 \pi c GmM_{\odot} \over L_{\odot}}\left(1-{R_E \over R_1}\right))
Abbiamo che il lavoro svolto dall'azione combinata delle due forze nel portare il satellite da
La variazione di energia (solo cinetica in quanto l'azione della gravità è inclusa nel calcolo del lavoro) è
dove
Ora poniamo che
Ponendo
Re: SNS 2009/2010 Problema 4
Non so se questo post sarà molto comprensibile, abbiate la pazienza di seguirmi (come dice Alberto Angela 
):
@ Alex90 e Ippo: entrambi i vostri procedimenti mi sembrano sensati, ma viene un risultato diverso per un fattore 2. Contrariamente a quanto si dice di solito: i fattori 2 contano! Se non mi sbaglio, quel fattore 2 è proprio la soluzione del problema.
Alex90, tu calcoli per quale A l'orbita circolare di raggio R e momento angolare L (uguale a quello di partenza) è stabile;
Ippo, invece, calcola per quale A la transizione dall'orbita circolare iniziale a una situazione cinematica (non necessariamente un'orbita stabile) in cui la velocità radiale si annulla verifica le conservazioni di energia e momento angolare.
Il fatto che vi vengano due risultati diversi per A(R), e quindi anche per R(A), vuol dire che la risposta al problema è "non si può mai fare per nessun valore di A".
L'approccio con la massa "efficace", sfruttando il fatto che la forza radiante ha lo stesso andamento di quella gravitazionale, mi sembrava promettente e avrebbe potuto risolvere subito il problema: non appena apre la vela, il satellite si trova in un campo gravitazionale efficace indebolito, ma conserva il suo momento angolare. Quindi si mette a percorrere un'orbita ellittica, oscillando radialmente attorno al raggio che (per quel fissato momento angolare L) gli avrebbe dato la stabilità (quello calcolato da Alex90), avendo come perielio il raggio dell'orbita iniziale e come afelio il punto cinematicamente permesso in cui la velocità radiale si annulla (quello calcolato da Ippo).
Il problema sarebbe molto adatto a essere trattato con la tecnica del potenziale efficace (http://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale_efficace). Questa tecnica consente di includere automaticamente la conservazione del momento angolare nella soluzione, e di ridursi allo studio del moto solo nella direzione radiale. La condizione iniziale è, chiaramente,
. L'apertura della vela può essere interpretata come l'aggiunta di un termine proporzionale ad 
nel potenziale, che diventa quindi
=\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}+k\frac{A}{r})
Il raggio calcolato da Ippo soddisfa=V_{eff}(R_E))
, quello calcolato da Alex90 invece soddisfa 
.
In ogni caso, non sarà l'ultima volta che vedete queste cose. Spero di essere stato chiaro e di non aver preso cantonate (cosa che ci sta sempre).
Best regards
Marco
):@ Alex90 e Ippo: entrambi i vostri procedimenti mi sembrano sensati, ma viene un risultato diverso per un fattore 2. Contrariamente a quanto si dice di solito: i fattori 2 contano! Se non mi sbaglio, quel fattore 2 è proprio la soluzione del problema.
Alex90, tu calcoli per quale A l'orbita circolare di raggio R e momento angolare L (uguale a quello di partenza) è stabile;
Ippo, invece, calcola per quale A la transizione dall'orbita circolare iniziale a una situazione cinematica (non necessariamente un'orbita stabile) in cui la velocità radiale si annulla verifica le conservazioni di energia e momento angolare.
Il fatto che vi vengano due risultati diversi per A(R), e quindi anche per R(A), vuol dire che la risposta al problema è "non si può mai fare per nessun valore di A".
L'approccio con la massa "efficace", sfruttando il fatto che la forza radiante ha lo stesso andamento di quella gravitazionale, mi sembrava promettente e avrebbe potuto risolvere subito il problema: non appena apre la vela, il satellite si trova in un campo gravitazionale efficace indebolito, ma conserva il suo momento angolare. Quindi si mette a percorrere un'orbita ellittica, oscillando radialmente attorno al raggio che (per quel fissato momento angolare L) gli avrebbe dato la stabilità (quello calcolato da Alex90), avendo come perielio il raggio dell'orbita iniziale
Il problema sarebbe molto adatto a essere trattato con la tecnica del potenziale efficace (http://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale_efficace). Questa tecnica consente di includere automaticamente la conservazione del momento angolare nella soluzione, e di ridursi allo studio del moto solo nella direzione radiale. La condizione iniziale è, chiaramente,
Il raggio calcolato da Ippo soddisfa
In ogni caso, non sarà l'ultima volta che vedete queste cose. Spero di essere stato chiaro e di non aver preso cantonate (cosa che ci sta sempre).
Best regards
Marco
Re: SNS 2009/2010 Problema 4
Ci è voluto un po' ma il post è stato molto interessante...grazie per esserti preso la briga di scriverlo tutto 
In definitiva però mi sorge una domanda...abbiamo scazzato tutti e 2 o c'è speranza di punti per qualcuno dei due? (presumibilmente Ippo ma sperare non costa nulla)
In definitiva però mi sorge una domanda...abbiamo scazzato tutti e 2 o c'è speranza di punti per qualcuno dei due? (presumibilmente Ippo ma sperare non costa nulla)
Re: SNS 2009/2010 Problema 4
uhm... presumibilmente se daranno 0 a noi daranno 0 anche alla stragrande maggioranza dei candidati, quindi credo che prepareranno un qualche tipo di scala per valutare soluzioni parziali, altrimenti saremmo tutti allo stesso livello e l'ammissione potrebbe essere decisa dallo scandaloso "problema" sull'autostrada xDAlex90 ha scritto:In definitiva però mi sorge una domanda...abbiamo scazzato tutti e 2 o c'è speranza di punti per qualcuno dei due? (presumibilmente Ippo ma sperare non costa nulla)
sì, questo dà un senso un po' a tutto il problema. In realtà (come ho scritto nel post sulla gravità efficace) sapevo che la soluzione "cinematica" andava intersecata con la condizione di stabilità dell'orbita, ma per qualche ragione non l'ho fattobacco ha scritto:tutto
credo qualcosa di connesso col fatto che ero convinto (e il testo in effetti un po' lo lascia intendere, come ha scritto anche bacco prima) che la vela andasse poi chiusa, e che quindi l'orbita non avrebbe comunque potuto essere circolare, quindi ho preferito ignorare il confuso problema della stabilità nell'orbita di arrivo.Alla luce di questo il problema diventa addirittura "carino"
Grazie bacco p.s.: ma allora era proprio
un errore di battitura difficilmente accettabile in un testo comunque brevissimo da ricontrollare e già abbastanza ambiguo di suo. Non sono un fan dello stile IPhO, dei problemi totalmente guiati che ammazzano la creatività della soluzione, ma qui siamo decisamente all'estremo opposto, qui la creatività va impiegata anche nell'interpretazione del testo, mi pare eccessivo 
bastavano pochissime parole scelte con cura a rendere univoca l'interpretazione di ogni testo... mah. Re: SNS 2009/2010 Problema 4
Beh allora speriamo beneIppo ha scritto:uhm... presumibilmente se daranno 0 a noi daranno 0 anche alla stragrande maggioranza dei candidati, quindi credo che prepareranno un qualche tipo di scala per valutare soluzioni parziali, altrimenti saremmo tutti allo stesso livello e l'ammissione potrebbe essere decisa dallo scandaloso "problema" sull'autostrada xD
Re: SNS 2009/2010 Problema 4
Riprendo il problema, per chi vuole discuterne... Io ho supposto primaria la richiesta: può raggiungere il raggio con velocità radiale nulla? Per questo motivo ho immaginato la situazione in cui la vela è disposta in modo che la componente radiale della forza bilanci la forza gravitazionale, e prendendo un certo A si può fare. L'altra componente è sempre tangenziale, quindi l'accelerazione dell'astronave e sempre in senso tangenziale e mai radiale. In questo modo l'astronave va sempre più lontano perchè per un angolo buono l'accelerazione è sempre "diretta nel verso giusto" e attraversa orbite circolari mantenendosi sempre sulla loro traiettoria: arriverà anche ad e ci arriverà con velocità radiale nulla. L'orbita però non è stabile perchè la velocità è maggiore di quella iniziale, che a sua volta è maggiore di quella necessaria a rimanere su . Che ne dite? La richiesta era quella di trovare un orbita stabile da raggiungere in questo modo, e quindi non ho risposto completamente?