Essere Newton

[Flaffo]

Non si conosce la legge di gravitazione universale.
Abbiamo a disposizione i valori della distanza della Luna dalla Terra (facilmente misurabile con la parallase a patto di conoscere la misura del raggio terrestre), il valore del raggio terrestre (misurabile da esperimenti tipo Eratostene di Cirene), il periodo orbitale della Luna intorno alla terra (osservando si può misurare il periodo sinodico e da li, conoscendo il periodo di rotazione terrestre, si risale a quello siderale) e l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre .

Dimostrare che la forza di gravita è inversamente proporzionale al quadrato della distanza

[guido]

Sono contento che tu abbia posto questo problema. Ti propongo di farlo risolvere prima di postare io il 108. Sei d'accordo

[Flaffo]

Va bene. Comunque decidi tu, la staffetta è tua

Sono contento che tu abbia posto questo problema. Ti propongo di farlo risolvere prima di postare io il 108. Sei d'accordo

Nel senso che lo conosci, e sai che è un bel problema; o che pensi sia bello e lo vuoi risolvere prima dela prossima staffetta?

[guido]

Non lo conosco ma ..è di Flaffo e mi ci voglio provare quando torno a casa nel pomeriggio anche se qualcuno l'avrà già risolto.

[guido]

Visto che nessuno ha tentato, provo la mia come promesso stamani
Essere Newton significa, come fu per lui, conoscere Keplero e in particolare che i quadrati dei periodi di rivoluzione stanno fra loro come i cubi delle distanze medie dall'attrattore. Un oggetto che ruotasse come la Luna attorno alla Terra ma ad una distanza dal centro-Terra poco superiore al raggiodella stessa avrebbe accelerazione centripeta se è il suo periodo di rivoluzione. Ma per la legge di Keplero si può dire che e d'altra parte l'accelerazione centripeta lunare sarà proporzionale alla forza di attrazione terrestre che non sappiamo come dipende da e che quindi indichiamo con . Abbiamo sostituendo che questa accelerazione
da cui
cioè la legge dell'inverso del quadrato. Se si sostituisse g verrebbe altrettanto

[Flaffo]

Diciamo che non ti fidi di Keplero.. o che nel tuo libro sulla gravità non vuoi mettere il nome di un altro scienziato.
In ogni caso, hai già abbastanza dati per non fare uso di Keplero.

[guido]

Diciamo che non ti fidi di Keplero.. o che nel tuo libro sulla gravità non vuoi mettere il nome di un altro scienziato.

Ogni volta devo riflettere molto sul significato di quello che dici Intanto osservo che se uso Keplero sono in buona compagnia e se l'ha usato Lui figuriamoci se non posso usarlo io. Quindi mi sento autorizzato a sostenere che intanto la mia soluzione è valida.
Però penso anche che vale più trovare anche una soluzione alternativa di un problema che risolverne due. Ci penserò stamani.

[guido]

Pensavo che una soluzione senza Keplero potrebbe essere la seguente: l'accelerazione centripeta g o deve essere proporzionale ad una forza direttamente proporzionale alla massa terrestre (l'attrattore) e inversamente proporzionale alla distanza elevata ad un esponente x>0 che è incognito. Maggiore è la massa maggiore è l'attrazione, maggiore è la distanza minore è l'attrazione.
Vicino alla superficie terrestre abbiamo allora
essendo la massa terrestre proporzionale al volume terrestre e quindi geometricamente ad . Dall'uguaglianza risulta subito che x=2 e che quindi la forza attrattiva è inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
Anche nel caso della Luna abbiamo

Dall'uguaglianza, anche per motivi dimensionali, risulta ancora x=2 e la forza attrattiva è ancora inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

[Flaffo]

Semplicemente, l'accelerazione centripeta della Luna (uguale a quella di attrazione è:



Ti calcoli il valore numerico e dividi per . Ti accorgi che il rapporto delle distanze tra la Luna e un oggetto sulla superficie è 60, mentre quello delle accelerazioni è 1/3600, ergo la dipendenza quadratica. In realtà il valore non è esattamente 1/3600, ma questo è dovuto alla massa non trascurabile della Luna. Però dovresti conoscere la massa della Luna.. Anche in quel caso sarebbe banale.

Si può anche ragionare senza accelerazione centripeta. Possiamo immaginare che per piccoli intervalli di tempo, la Luna anziché in orbita circolare, percorra un tratto in orizzontale (come se mancasse la gravità) e poi percorre un altro tratto in caduta libera. Facendo varie approssimzioni (altrimenti uscirebbe un risultato troppo piccolo per la calcolatrice) ti ricavi che la Luna cade ogni secondo, in direzione della Terra di:



Dove t è unitario. Il risultato sarebbe lo stesso. D'altronde abbiamo semplicemente dimostrato la forza centripeta.

[guido]

Ti rispondo da scuola. Io ho dato due soluzioni senza valori numerici perchè nel testo si diceva che erano noti non che bisognava trovarli e sostituirli. Comunque vorrei sapere se il problema è esaurito (a meno che non intervenga qualche altro) e se quindi posso postare il 108 . Stavo per proporti di postarlo tu...ma è ingiusto non farti correre..lo posterò io quando lo ritieni