106. Sfera calda all'equilibrio

[FedericoC.]

In una sfera di raggio e conducibilità termica viene prodotto calore in modo isotropo. Il calore prodotto per unità di volume e di tempo è . La sfera è in uno spazio in cui c'è lo zero assoluto e irraggia come un corpo nero. Calcolare, in funzione della distanza radiale dal centro, la temperatura all'interno della sfera all'equilibrio.

[Flaffo]

La temperatura superficiale della stella è data eguagliando l'energia emessa (data dalla relazione di Stefan-Boltzmann ) e l'energia prodotta al suo interno (per unità di tempo):



Da cui:







Dato che siamo in equilibrio, le due quantità sono uguali, altrimenti si avrebbe un accumulo o una scomparsa di calcore, che contradirrebbe l'ipotesi iniziale. Eguagliando, dopo un po di passaggi arriviamo a:



Integriamo, scegliendo opportunamente gli estremi:



Svolgendo e Isolando T:



Dovrebbe aver senso se controlliamo i casi limiti e le proporzionalità ( Q, k..)

[FedericoC.]

Il risultato è sbagliato, anche perché sarebbe paradossale che la temperatura aumenti all'aumentare della distanza dal centro

[Flaffo]

Mi sono accorto di alcuni errori stupidi.. ho modificato l'ultimo post

[FedericoC.]

Esattamente, a te il testimone