70: PROIETTILE ALL'ANTIPODE

[Flaffo]

Si vuole lanciare un proiettile all'antipode (punto della superficie terrestre diametralmente opposto al luogo del lancio). Assumiamo che la terra non ruoti attorno al proprio asse. La massima altezza raggiunta dal proiettile è dove R indica il raggio della terra.
1. Calcolare la velocità iniziale che il proiettile deve avere e l'angolo al quale deve essere lanciato (rispetto all'orizzontale).
2. Calcolare la velocità minima del proiettile nel suo percorso.
3. Dire se è possibile vedere il proiettile ad occhio nudo quando si trova a distanza massima dalla terra, e stimarne la luminosità (raggio della sfera ).
4. Calcolare il tempo di volo totale del proiettile: da quando viene lanciato, a quando raggiunge l'obiettivo.
Si aggiudica la staffetta chi risolve più punti, o chi fa solo il 4 (jackpot)

Ripetere tutte le misure considerando la rotazione dalla terra

[nace26]

Tornato a casa colmo di tristezza per la sconfitta dell'atletico, mi sono cimentato nei primi due punti ... I risultati che mi sono usciti sono però un po' bruttini da vedere, quindi prima di scrivere eventualmente il procedimento (cosa che a quest'ora non avrei comunque intenzione di fare ) ti chiedo se sono sensati:
, , .

[Flaffo]

I risultati sono sbagliati, pero dimensionalmente ci stiamo

[nace26]

Mi è venuto in mente un dubbio: da dove misuri l'altezza? Perché io l'ho presa dal centro della Terra, ma ora che ci penso non era ovvio...

[Flaffo]

Eh infatti.. Si misura dalla superficie

[nace26]

allora mi viene

[Flaffo]

La e la sono giuste, però l'angolo no.
1,5 punti per nace26

[arna1998]

Confermo i risultati di nace26, ma per l'angolo dico:
che vuol dire °

[nace26]

Metto il procedimento allora

Per le leggi di Keplero la traiettoria è ellittica; per la conservazione dell'energia il modulo della velocità è uguale alla partenza e all'arrivo, per quella del momento angolare lo è anche l'angolo rispetto all'orizzontale. Insomma la situazione è simmetrica rispetto all'asse della congiungente i due punti agli antipodi, quindi anche il secondo fuoco giace su questo asse.

Detta la distanza del secondo fuoco dal centro della terra e il semiasse maggiore dell'ellisse, deve verificarsi

, risolvendo trovo e .

Ora la conservazione dell'energia si scrive ove è la distanza dal centro della Terra in un dato momento e è la velocità.

Se sostituisco trovo facilmente .

La velocità è minima all'apogeo, quindi posto trovo .

Ora sono un po' perplesso per quanto riguarda l'angolo di lancio. Io avevo impostato la conservazione del momento angolare come da cui mi esce appunto il risultato che ho detto. Ma notando che l'angolo trovato da arna1998 è esattamente il complementare del mio, è evidente che ancora una volta ho cannato una definizione, nel senso che con "rispetto all'orizzontale" avevo inteso quello che il vettore forma con la tangente alla superficie terrestre in quel punto

[Flaffo]

Interessante il procedimento per il primo e secono punto, io l'avevo fatto in modo diverso