62: Equilibrio instabile

Flaffo · Messaggio da **Flaffo** » 10 apr 2016, 11:14

Rieccoci con la staffetta

Due gradi lastre parallele conduttrici, separate da una distanza $d$ , sono caricate cosicché il loro potenziale è portato a $V_0$ e a $-V_0$ . Una piccola sfera conduttrice di massa $m$ e raggio $R$ (con $R\ll d$ ) si trova alla stessa distanza da entrambe le lastre ed è sospesa tramite un filo di lunghezza $L$ messo a terra in modo che il potenziale della sfera sia sempre $V=0$ . Quando $V_0$ è sufficientemente piccolo, la sfera è in equilibrio stabile (vedere la figura).

Per quali valori di $V_0$ la sfera è in equilibrio instabile?

1998marcom · Messaggio da **1998marcom** » 11 apr 2016, 20:31

Da giovincello tento di rispondere

Nota la capacità della sfera $C = 4 \pi \epsilon R$ , supponiamo che la pallina si sposti a destra di una distanza infinitesima $d x$ . Ne approfittiamo per definire come positivi tutti i vettori verso destra (stiamo considerando solo vettori orizzontali, dell'equilibrio verticale c'è poco da dire e non ci riguarda).
Poiché il potenziale della sfera rimane a 0, sfruttando le relazioni $d V = - E d x$ (dove con V si intende il potenziale dovuto alla "posizione" della sferetta, $C = Q / V$ e $E = V_0 / d$ otteniamo che:
$\displaystyle d Q = \frac{4 \pi \epsilon V_0 R}{d} d x$

per $d x > 0$ abbiamo che $F_{pesoorizzontale} < 0$ mentre $F_{elettrica} > 0$ . Per un equilibrio instabile deve accadere che $F_{pesoorizzontale} + F_{elettrica} > 0$ . Poiché:
$\displaystyle F_{pesoorizzontale} = - m g \frac{d x}{L}$ per $d x$ che tende a 0
$\displaystyle F_{elettrica} = \frac{4 \pi \epsilon R V_0 ^ 2}{d ^ 2} d x$

Ne ricaviamo che per un equilibrio instabile deve accadere che:
$\displaystyle V_0 > \frac{d}{2} \sqrt{\frac{g m}{L \pi \epsilon R}}$

Fiaccato dal tex, spero di averci azzeccato

Flaffo · Messaggio da **Flaffo** » 11 apr 2016, 23:52

Bravo, ragionamento giusto

Però attento che il campo elettrico generato dalle lastre (uniforme) è:
$E=\frac {\Delta V}{d}=\frac {2V_0}{d}$
Quindi il risultato finale è:

$\displaystyle V_0 > \frac {d}{4} \sqrt {\frac {gm}{L \pi \epsilon R}}$

È interessante il fatto che la sfera inizialmente scarica, quando si sposta verso destra dalla posizione di equilibrio, al fine di mantenere potenziale nullo, prelevi una carica da terra, caricandosi positivamente. Se, invece, viene spostata a sinistra, verso una zona a potenziale maggiore, la sfera si carica negativamente. In entrambi i casi la sfera continuerà a muoversi verso la lastra di segno opposto se la forza elettrica ( legata alla differenza di potenziale) supera la forza di richiamo dovuta alla forza peso.

Domanda bonus:Tenendo conto dell'intervallo calcolato nel punto 1, si dica se il moto del pendolo è armonico o no dimostrandolo.

FedericoC. · Messaggio da **FedericoC.** » 22 apr 2016, 21:24

Provo a rispondere, sperando sia giusto

Affinché la sferetta non continui a spostarsi verso la lastra è necessario che l'equilibrio sia stabile, quindi:
$0<V_0<\frac{d}{4}\sqrt{\frac{gm}{L\pi\epsilon R}}$

$F_{pesoorizzontale}+F_{elettrica} <0$

Posso scrivere:

$ma=-mg\frac{dx}{L}+\frac{16\pi\epsilon R V_0^2dx}{d^2}$

Trovo che:

$a=-(\frac{g}{L}-\frac{16\pi\epsilon RV_0^2}{md^2})dx$

Il moto del pendolo è armonico di pulsazione:

$\omega=\sqrt{\frac{gmd^2-16\pi\epsilon RV_0^2}{Lmd^2}}$

Flaffo · Messaggio da **Flaffo** » 23 apr 2016, 0:07

Bravo!!

La staffetta è tua

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