Alcuni dubbi sulle rotazioni

[ruben96]

Ciao, ho alcuni dubbi che vorrei chiarire con voi, è tutto il giorno che ci penso.

1) Mi metto in un sistema di riferimento inerziale e guardo la Terra girare su sé stessa.
Per una persona che si trova all'equatore posso scrivere: . Quindi la forza centripeta sulla persona è la RISULTANTE di peso e forza normale, giusto? E' sbagliato dire che la forza centripeta è solo il peso, solo perché è l'unica con verso diretto verso il centro, devo considerare la risultante.
Se invece sono sulla Terra, la risultante di tutte le forza sulla persona ferma (peso, normale, forza centrifuga) è zero, quindi non ha senso parlare di una forza centripeta, giusto?

2) Guardo ancora la Terra da un sistema inerziale. Ora però considero una persona a una latitudine qualsiasi. Il peso è diretto verso il centro della terra, la normale ha stessa direzione ma verso opposto. Però la persona si muove di moto circolare lungo una traiettoria perpendicolare all'asse di rotazione. Com'é possibile? La risultante delle forze dovrebbe avere direzione centripeta, ma invece è diretta verso il centro della Terra.

3) L'altro giorno stavo guardando questo problema: un oggetto si trova sulla linea equatoriale di un pianeta sferico e omogeneo di densità p . Calcolare la minima durata del giorno su tale pianeta perché l’oggetto non si stacchi da esso.

E la soluzione dice: L’oggetto è sottoposto, per un osservatore posto sul pianeta, a una forza attrattiva verso il centro, il proprio peso, e a una forza centrifuga (apparente). Esso non si stacca se il primo è maggiore della seconda, cioé se:


Domanda: perché non ha considerato la forza normale?

Scusate se mi sono dilungato, ma voglio capire bene la questione. Grazie a tutti.

[Pigkappa]

Quindi la forza centripeta sulla persona è la RISULTANTE di peso e forza normale, giusto?

Giusto.

Se invece sono sulla Terra, la risultante di tutte le forza sulla persona ferma (peso, normale, forza centrifuga) è zero, quindi non ha senso parlare di una forza centripeta, giusto?

Giusto.

Il peso è diretto verso il centro della terra, la normale ha stessa direzione ma verso opposto. Però la persona si muove di moto circolare lungo una traiettoria perpendicolare all'asse di rotazione. Com'é possibile? La risultante delle forze dovrebbe avere direzione centripeta, ma invece è diretta verso il centro della Terra.

Suggerimento: prova a stimare queste forze (proprio mettendoci i numeri) e guarda quanto vale la forza mancante che va aggiunta per far tornare i conti. (poi scrivi le tue conclusioni qui che rispondero' di nuovo)

Domanda: perché non ha considerato la forza normale?

Perche' stavano cercando di far sembrare semplice una soluzione che in realtà e' un po' più complicata. La soluzione si scrive più chiaramente così: il bilancio delle forze per quel corpo e', prendendo come negativa la direzione verso il centro:
da cui possiamo calcolarci la forza vincolare . Adesso notiamo che un equilibrio di questo tipo ci puo' essere solo se , perche' la forza vincolare puo' sorreggere il peso del corpo, ma non tenerlo attaccato alla superficie. Questa condizione da' il limite .

C'e' tutta una serie di problemi di meccanica che si risolvono imponendo che la reazione vincolare sia orientata in una certa direzione. Purtroppo, quando il problema e' abbastanza facile, come in questo caso, i libri di testo e le soluzioni delle gare tendono a nascondere questo passaggio sotto il tappeto, e dare giustificazioni come quella che hai trovato tu. Quando lo studente si trova davanti un problema difficile, pero', e' ormai abituato a ragionare nel modo che funziona per i problemi facili e non riesce a risolverlo.

[ruben96]

Ciao, innanzitutto grazie per le risposte. Per il secondo punto invece sono ancora un po' confuso. Ho provato a disegnare la situazione.
Il problema è: qui le forze non sembrano avere la direzione centripeta come dovrebbero. Cioè non posso usare per qualsiasi latitudine
giusto? Forse dovrei considerare le componenti di queste forze sull'asse perpendicolare all'asse di rotazione... aspetto un tuo chiarimento definitivo

[Pigkappa]

Si', devi considerare le componenti. Se e' il raggio terrestre, la co-latitudine (= 90 gradi meno la latitudine), le equazioni saranno (sono sintetico e faccio tutto a mente per mancanza di tempo, se qualcosa non e' chiaro, e se ho invertito qualche seno o coseno, correggimi) , e . Si vede abbastanza facilmente che queste non si possono risolvere e quindi qualcosa non torna.

Che cosa e' che non torna? Fin qua abbiamo assunto che la Terra sia sferica, che la forza di gravita' sia verso il centro, e la reazione vincolare e' opposta alla forza di gravita'. Aggiungiamo un'altra forza , che per esempio potrebbe essere dovuta all'attrito, nella prima equazione. Allora vediamo facilmente che vale approssimativamente (e e sono circa uguali). Se ci metti i numeri, ti accorgi che sulla Terra . Quindi questa altra forza che abbiamo dovuto aggiungere e' molto piccola rispetto al peso dell'oggetto. Ci sono molti effetti che possono entrare in gioco e sistemare le cose - per esempio, appunto, una piccola forza di attrito che costringe i corpi a restare nella loro posizione sulla superficie della Terra. Per quanto riguarda la Terra di per se', la maggior parte del materiale che la compone e' solido. Ci sono forze di struttura che lo tengono unito e contribuiscono a dare la forza necessaria per far venire la forza centripeta nell'equazione del moto.

In aggiunta alla possibilita' di una piccola forza aggiuntiva che sistema le cose, c'e' anche un altro effetto in gioco: la superficie della Terra non e' sferica ma un po' schiacciata (cioe' il raggio all'equatore e' piu' grande che ai poli). In questo modo, la direzione perpendicolare alla superficie non e' necessariamente diretta verso il centro della Terra: la forza vincolare e il peso percio' possono essere in direzioni diverse e questo puo' contribuire a darti la forza centripeta. Il motivo per cui la Terra e' schiacciata e' proprio la rotazione, e in generale anche gli altri pianeti e le stelle sono schiacciati per effetto della rotazione. Un esercizio interessante (pero' non e' facile, magari fallo quando hai più confidenza con queste cose) può essere quello di calcolare di quanto deve essere schiacciato un pianeta perché possa ruotare con velocità angolare senza che ci siano forze di attrito o di struttura che non siano perpendicolari alla superficie.

[Pigkappa]

Non so se hai fatto la prova di Febbraio 2016; se non l'hai fatta, prova il problema 2, che e' esattamente su questo argomento.

[ruben96]

Ok,grazie mille, farò la prova di Febbraio. Un'ultima cosa, quando dici:

Aggiungiamo un'altra forza , che per esempio potrebbe essere dovuta all'attrito, nella prima equazione. Allora vediamo facilmente che vale approssimativamente (e e sono circa uguali).

che direzione ha questa forza di attrito? Cioé con questa forza come cambiano le equazioni?

[Pigkappa]

Tipicamente la forza di attrito si oppone al moto. Dato che il moto puo' essere solo perpendicolare alla superficie terrestre, la forza sarebbe solo sul piano ortogonale alla direzione radiale. L'equazione diventa .