Abbiamo un palo conficcato verticalmente nel terreno. Due corde della stessa lunghezza ci sono legate per un estremo, a distanza
Ora facciamo girare su sè stesso il palo. Qual'è la minima velocità angolare
(le masse delle corde sono trascurabili)
Per tendere le corde
Per tendere le corde
Vediamo di tenere vivo il forum!
Abbiamo un palo conficcato verticalmente nel terreno. Due corde della stessa lunghezza ci sono legate per un estremo, a distanza
l'una dall'altra (sul palo). Agli estremi delle due corde è poi legata una massa (spero sia chiaro com'è fatto il sistema).
Ora facciamo girare su sè stesso il palo. Qual'è la minima velocità angolare
con cui dobbiamo farlo girare, affinché le corde siano entrambe tese?
(le masse delle corde sono trascurabili)
Abbiamo un palo conficcato verticalmente nel terreno. Due corde della stessa lunghezza ci sono legate per un estremo, a distanza
Ora facciamo girare su sè stesso il palo. Qual'è la minima velocità angolare
(le masse delle corde sono trascurabili)
Re: Per tendere le corde
Analizziamo prima la situazione come se ci fosse soltanto la corda sopra. Supponiamo che il palo stia girando ad una velocità angolare . Chiamiamo 
l'angolo formato tra la corda e il palo. Sappiamo che le forze verticali sulla massa sono in equilibrio, quindi 
, dove 
è la tensione della corda. La forza centripeta che agisce sulla massa è pari 
, con 
la distanza tra il palo e la massa. La forza centripeta è anche uguale a 
, quindi facendo tutte le sostituzioni:
Consideriamo ora anche l'altra corda. Possiamo quindi considerare come caso limite quando la seconda corda non esercita nessuna forza sulla massa, ma il sistema si trova già nella posizione in cui le corde sono tese. Notiamo che in questa situazione
, quindi sostituendo nella equazione di prima:
Consideriamo ora anche l'altra corda. Possiamo quindi considerare come caso limite quando la seconda corda non esercita nessuna forza sulla massa, ma il sistema si trova già nella posizione in cui le corde sono tese. Notiamo che in questa situazione
Re: Per tendere le corde
@ arna &nace
scusate non ho capito la seconda parte della soluzione o forse non ho capito il testo.
1) nel caso limite citato la seconda corda è tesa, quindi soggetta a tensione, ma non esercita forza sulla massa? 2) se tangalfa=2r/d facendo tendere d a zero, cioè la corda di sotto a quella di sopra e dunque m a 2m, alfa diventa retto? Ma alfa non dipende dalla massa attaccata che nel calcolo di omega compare sia nel peso che nella forza centripeta.
scusate non ho capito la seconda parte della soluzione o forse non ho capito il testo.
1) nel caso limite citato la seconda corda è tesa, quindi soggetta a tensione, ma non esercita forza sulla massa? 2) se tangalfa=2r/d facendo tendere d a zero, cioè la corda di sotto a quella di sopra e dunque m a 2m, alfa diventa retto? Ma alfa non dipende dalla massa attaccata che nel calcolo di omega compare sia nel peso che nella forza centripeta.
Re: Per tendere le corde
Alla prima domanda risponderei che dire che una corda è "tesa" non è come dire che è soggetta ad una tensione, o almeno non è questo che si intende qui. Io con "tesa" intendevo che "assume la forma di un segmento" per dirla in modo grezzo. Spero di non aver fatto una gaffe... 
Analizzando più nel dettaglio il ragionamento fatto da arna1998: sulla massa agiscono una forza centrifuga (orizzontale) e la forza peso (verticale). Chiamiamo
i moduli delle tensioni della corda "superiore" e di quella "inferiore" rispettivamente. Allora per l'equilibrio abbiamo le due equazioni
sen(\alpha)=m\omega^2\frac{dtg(\alpha)}{2})
cos(\alpha)=mg)
.
Risolvendo, si ottiene
.
Si vede che la più piccola velocità angolare che tenga le corde tese è quella trovata da arna1998, quando
. Che la tensione sia nulla non significa che la corda non sia tesa, ma che non esercita forze sulla massa. Il caso limite in pratica è quello in cui si fa come se la seconda corda non esistesse.
Se quello che ho detto è tremendamente sbagliato, ditemelo assolutamente, perché il dubbio mi è venuto!
Per la seconda domanda,non ho capito cosa intendi con "m a 2m".
Comunque direi di si: quando tende a zero, le due corde tendono a sovrapporsi, e l'angolo che ciascuna forma con il palo tende ad essere retto.
Dimmi se quello che ho detto ti torna o meno!
Analizzando più nel dettaglio il ragionamento fatto da arna1998: sulla massa agiscono una forza centrifuga (orizzontale) e la forza peso (verticale). Chiamiamo
Risolvendo, si ottiene
Si vede che la più piccola velocità angolare che tenga le corde tese è quella trovata da arna1998, quando
Se quello che ho detto è tremendamente sbagliato, ditemelo assolutamente, perché il dubbio mi è venuto!
Per la seconda domanda,non ho capito cosa intendi con "m a 2m".
Comunque direi di si: quando
Dimmi se quello che ho detto ti torna o meno!
Re: Per tendere le corde
Non sono d'accordo: se la seconda corda, come dici, è "un segmento" e se forma l'angolo alfa con la verticale, come segue dal TUO conto, come fai a dire che "non esiste" quando porta appesa all'estremo una massa soggetta alla forza peso e alla forza centripeta? Come fai a porre Tdue =0? Insomma non può essere un segmento, formare alfa con la verticale, portare appesa all'estremo una massa soggetta a due forze e non essere tesa da una forza!
Per risponderti dico poi che si passa da m a 2m perchè in pratica le due corde si sovrappongono per d tendente a zero. Ma la cosa è inessenziale perchè come avete visto l'angolo alfa che anche arna ha trovato non dipende da m. Esso poi non può essere retto a meno che omega non tenda a infinito (altro che minima!) tanto che la forza centrifuga prevalga a tal punto sulla forza peso da poter trascurare quest'ultima...Infatti arna aveva correttamente trovato nella prima parte che omega al quadrato = tangalfa per g/r per cui affinchè alfa sia retto è necessario che la tang e quindi omega tendano a infinito.
Un'ultima cosa: potresti dirci dove hai trovato il testo del problema?
Per risponderti dico poi che si passa da m a 2m perchè in pratica le due corde si sovrappongono per d tendente a zero. Ma la cosa è inessenziale perchè come avete visto l'angolo alfa che anche arna ha trovato non dipende da m. Esso poi non può essere retto a meno che omega non tenda a infinito (altro che minima!) tanto che la forza centrifuga prevalga a tal punto sulla forza peso da poter trascurare quest'ultima...Infatti arna aveva correttamente trovato nella prima parte che omega al quadrato = tangalfa per g/r per cui affinchè alfa sia retto è necessario che la tang e quindi omega tendano a infinito.
Un'ultima cosa: potresti dirci dove hai trovato il testo del problema?
Re: Per tendere le corde
Aspetta, ma tu con "m" cosa intendi? Forse non hai capito il testo del problema: c'è una sola massa, legata ad entrambe le corde, non due corde legate ciascuna ad una massa! Nel caso chiedo scusa, evidentemente non mi sono spiegato bene.
Il problema l'ho preso da "Problemi di meccanica" di Paolo Azzurri, e la soluzione ufficiale combacia esattamente con quella trovata da arna1998.
Comunque, la mia idea era questa: la massa, soggetta a forza peso e centrifuga, è vincolata al moto circolare (nel caso limite) solo dalla prima corda; la seconda assume quella posizione perché è legata alla massa, ma non esercita nessuna forza su di essa.
In ogni caso, dimmi per favore se ora ti quadra o meno, perché sono molto interessato! Mi hai messo il dubbio.
(questo finesettimana non potrò avere internet, quindi non risponderò prima di lunedì)
Il problema l'ho preso da "Problemi di meccanica" di Paolo Azzurri, e la soluzione ufficiale combacia esattamente con quella trovata da arna1998.
Comunque, la mia idea era questa: la massa, soggetta a forza peso e centrifuga, è vincolata al moto circolare (nel caso limite) solo dalla prima corda; la seconda assume quella posizione perché è legata alla massa, ma non esercita nessuna forza su di essa.
In ogni caso, dimmi per favore se ora ti quadra o meno, perché sono molto interessato! Mi hai messo il dubbio.
(questo finesettimana non potrò avere internet, quindi non risponderò prima di lunedì)
Re: Per tendere le corde
Come avevo sospettato nel mio post non avevo capito il testo! Io ho inteso che le due corde fossero indipendenti ciascuna con una sua massa e ti ho chiesto dove l'avevi preso perchè mi sembrava che non ci fosse interazione fra le due e che quindi d fosse insignificante....Permettimi però: il testo non era chiarissimo... Mi scuso di aver equivocato e rifletterò sul nuovo (per me) problema anche se d'impulso direi che allora la soluzione è giusta.