Sia
la velocità del berillio,
la sua proiezione lungo la direzione di vista e
l'angolo tra la direzione di vista e
. Trattiamo il neutrino come un fotone e non una particella, data la sua massa trascurabile e scriviamo
, dove
è la frequenza del neutrino emesso da un berillio fermo. Tuttavia i neutrini vengono emessi da una sorgente, il berillio, in movimento rispetto agli osservatori, quindi la frequenza misurata a Terra viene modificata a causa del Doppler. Perciò la frequenza rilevata
è
, dove
. Dato che, per il neutrino,
, vale anche
.
Potendo il berillio emettere il neutrino in qualsiasi direzione, a Terra sarà misurata una certa distribuzione di
di cui ci interessa trovare la deviazione standard.
Prima di tutto, notiamo che il valor medio di
è sicuramente
(è come dire che
ha la stessa probabilità di essere maggiore o minore di
, ovvio per simmetria).
Poi, per calcolare la deviazione standard di
)
facciamo una media (integrale) pesata: moltiplichiamo lo scarto quadratico relativo ad
(lo chiamiamo
^2)
) per un peso proporzionale alla probabilità che una direzione a caso formi un certo angolo
e dividiamo il tutto per la somma dei pesi. Quali sono questi pesi? "Una direzione a caso" vuol dire una retta a caso passante per il berillio, che può essere individuata univocamente (con una, diciamo, quasi-biiezione, dato che ci sono esattamente due punti per ogni retta) tramite la scelta di un punto su una superficie sferica arbitraria, facciamo di raggio
, di centro il berillio. I punti che individuano una retta con angolo
sono quelli appartenenti, oltre che alla superficie sferica, alla circonferenza il cui piano è perpendicolare alla direzione di vista e il cui raggio è
. Dunque anche la lunghezza della circonferenza sarà proporzionale a
; ma la probabilità cercata è a sua volta proporzionale alla lunghezza della circonferenza, dunque il nostro peso è proprio
.
L'ultimo accorgimento prima di passare ai conti è notare che le velocità del berillio che vengono fuori sono dell'ordine di
o
, quindi possiamo usare la formula classica del doppler anziché quella relativistica:
=E_\nu(1+\beta\cos\theta))
, dove
. Per ottenere una stima dell'ordine di grandezza di
si può porre
-E_\nu)
e ricavare
.
Detto ciò, passiamo ai conti.
^2\sin\theta\,\text{d}\theta}{\displaystyle\int_0^\pi\sin\theta\,\text{d}\theta}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{\displaystyle \int_0^\pi\left(E'-E_\nu\right)^2\sin\theta\,\text{d}\theta}{\displaystyle\int_0^\pi\sin\theta\,\text{d}\theta}\right)^{\frac{1}{2}}=E_\nu\beta\left(\frac{\displaystyle \int_0^\pi\cos^2\theta\sin\theta\,\text{d}\theta}{\displaystyle\int_0^\pi\sin\theta\,\text{d}\theta}\right)^{\frac{1}{2}}=\quad=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}E_\nu\beta)
da cui
Ora è sufficiente uguagliare l'energia cinetica di un atomo di berillio a quella termica, ottenendo
^2c^2.)
