Gas perfetto a pressione costante

[Simone256]

Un gas perfetto con calore specifico a volume costante è contenuto in un recipiente cilindrico termicamente isolante a pressione costante (come se ci fosse un peso opportuno sopra un opportuno pistone). Alla base del cilindro in basso è presente un foro di area che genera una perdita di gas. Fuori c'è il vuoto.
Siano e il volume e la temperatura iniziale del gas, determinare: , e (sia n il numero di moli contenuto nel recipiente).
Il problema è una mia generalizzazione di un problema della gara nazionale 1992, trovato sul testo "le olimpiadi della fisica". Non conosco la soluzione e non so se ne abbia una umana! Tuttavia può comunque essere fonte di domande interessanti su questa strana materia che è la termodinamica. Spero possa essere interessante

Edit: Grazie a OrsoBruno96 per avermi fatto aggiungere un paio di ipotesi che non avevo scritto

[Woodman]

Non vorrei dire cavolate ma il fatto che la pressione sia costante non è un vantaggio visto che così la velocità di fuoriuscita del gas è costante?

[andrea96]

Non vorrei dire cavolate ma il fatto che la pressione sia costante non è un vantaggio visto che così la velocità di fuoriuscita del gas è costante?

Questa era la prima cosa che avevo pensato anch io istintivamente appena simone mi ha proposto il problema. In realtà quello che avevo ipotizzato io era che per un dato foro dipendesse solo dalla pressione; diciamo che questa cosa mi sembrava intuitiva ed ero convinto di poterla dimostrare con un modello microscopica. In realtà quest'idea "intuitiva" nasce da una sbagliata interpretazione dell'uscita dal foro: qui non stiamo parlando di un liquido che esce dal foro per la pressione del liquido sovrastante, ma parliamo di un gas che esce dal foro a causa del suo moto termico, quando una particella nei pressi del foro ha una componente della velocità perpendicolare al foro diversa da zero allora esce fuori; quindi è dipendente dalla velocità quadratica media non alla pressione. E la velocità quadratica media è proporzionale alla radice della temperatura che non è costante.
P.S. avevo anche trovato una soluzione al problema assumendo che e sembrava anche un risultato ragionevole, ma è sicuramente sbagliato per i motivi che ho detto prima.

[Woodman]

Sinceramente non penso che alla gara nazionale mettano problemi così difficili... poi magari mi sbaglio... magari ci sfugge qualcosa che semplifica l'interpretazione del problema e lo rende risolvibile... boh

[OrsoBruno96]

Non so se la mia soluzione è giusta, quindi aspetto il parere di qualcuno esperto (tipo Pigkappa) per vedere quante monate ho scritto

Trattiamo il problema tempo in seguito e cerchiamo di caratterizzare la trasformazione termodinamica, trovando tutti i parametri in funzione di uno solo

Partiamo dalle cose facili:




Ora, Q= 0 perchè il recipiente è termicamente isolante. Inoltre sappiamo che p è costante

Facciamo il differenziale di entrambe le equazioni

a)
b)

Sostituisco la prima nella seconda e ottengo un'equazione differenziale in T e n:

che ha come soluzione

Ricavo il differenziale di T, lo butto nella b) e ottengo un'altra equazione differenziale, stavolta in V e n

La soluzione è con

Ora so più o meno tutto della trasformazione.

passiamo al lato interessante.

La variazione di numero di moli per unità di tempo sarà proporzionale alla densità di particelle, alla loro velocità media e alla superficie del buco
In formule in cui alfa è un coefficiente numerico di cui non mi arrischio a dare il valore esatto, che corregge il fatto che le particelle si muovano più o meno in tutte le direzioni e non solo verso il buco.

Ora, visto che per fortuna le funzioni T e V le posso scrivere in funzione di n, la mia equazione differenziale che adesso sembra mostruosa, diventa a variabile separabile. Salvo errori (probabili) di conto, la soluzione dovrebbe essere
con

Da cui sostituendo si ricavano V(t) e T(t)

Chiedo scusa per aver saltato tutti i conti ma domani ho verifica e non so ancora su che pagine. se ci sono passaggi poco chiari ditemi che magari li scrivo quando ho tempo. Se ho fatto errori di conto (come probabile) avvertitemi e edito

[Simone256]

Mi conforta che l'impostazione del problema è uguale alla mia! Poi vabbè è venuta fuori la mia incapacità in analisi e mi sono giustamente bloccato! Bella soluzione! Se non ti spiace metto la mia idea sul fattore :
Le molecole si muovono in tutte le direzioni quindi la componente media della velocità perpendicolare al foro sarà . Inoltre possiamo immaginare che metà molecole si muovano verso il foro mentre l'altra metà se ne allontani, da cui .
In sostanza .
Si è una stima un po' cazzona anche per il fatto che si parla di valori medi mentre in termini di componenti sbucano fuori esponenti uguali a 2 poco augurabili... Così come nel libero cammino medio mi ricordo che nella teoria c'era un fattore che non mi sarebbe mai venuto in mente

[andrea96]

@Orsobruno96: il risultato che viene è molto ragionevole e la soluzione è bella, solo che a me resta un dubbio di cui ho già discusso con simone e non mi è ancora del tutto chiaro: perchè quando differenzi l'energia interna ometti il termine proporzionale a ? cioè... non dovrebbe essere ? c'è una motivazione precisa per fare questo apparte il fatto che facendo la differenziazione che ho fatto io viene ?
Altra cosa: visto che io mi ero impuntato sul fatto che dove essere , e visto che in questo modo veniva che il volume è costante, avevo cercato di dare una spiegazione a questa cosa assurda, e la cosa che mi era venuta in mente è questa: ha senso considerare un gas isolato termicamente se c'è una valvola da cui può uscire? il fatto che l'interno del recipiente possa scambiare materia con l'esterno non dovrebbe implicare che può scambiare anche calore? sono ancora abbastanza confuso su questa cosa...

[Simone256]

Provo a scriverlo qui così se sbaglio posso venire corretto anche da pigkappa o oracoli simili
Quello che era uscito dalla conversazione tra me e andrea era anche il problema scritto da lui sopra, la mia spiegazione è questa:
Nella formula del primo principio c'è proprio il termine che salva tutto! è variabile e quindi quella formula prende senso! Secondo un punto di vista più statico possiamo pensare che in ogni istante è costante e quindi è come se non ci fosse nessun foro, pertanto è risolto pure il problema del fatto che è effetivamente nullo in quest'istante.
Ragionando su un tempo che si muove invece abbiamo che il lavoro fatto influisce solo sulle molecole presenti nel recipiente e quindi causa un solo del termine (variabile). La perdita di molecole non è un lavoro compiuto dall'ambiente verso il recipiente perchè le molecole che non scappano sono totalmente indisturbate.
Bisogna immaginarsi molto bene la situazione fisica... Poi io mi sono convinto di sta cosa e ho il difetto che cambio idea difficilmente salvo confutazioni palesi! Colgo l'occasione anche per chiedere a Orso se il motivo (profondo) che l'ha indotto a scrivere il primo principio in quel modo può ricordare vagamente il mio!
In ogni caso questo problema come scritto nella consegna l'ho postato anche per discutere di sto problema, che a parer mio è ben interessante

Sinceramente non penso che alla gara nazionale mettano problemi così difficili... poi magari mi sbaglio... magari ci sfugge qualcosa che semplifica l'interpretazione del problema e lo rende risolvibile... boh

Guarda il problema da cui ho preso spunto era moooolto più semplice io l'ho davvero stratraviato
A senigallia se mettessero un problema del genere lo farebbero in maniera guidata! Magari facendoti arrivare alla soluzione un passo per volta! Comunque credo che sia troppo analiticoso per essere un problema da gara nazionale

[andrea96]

P.S. (vista la posizione il P.S. è inteso non come "post scriptum" ma "pre scriptum") @simone256 non posso risponderti sul telefono poi domani ti spiego
Volevo scrivere una cosa (che magari potrebbe essere interessante) che mi è venuta in mente un minuto fa leggendo il post di simone256: la questione se differenziare o meno il numero di moli mi ha fatto venire in mente la questione del secondo principio della dinamica per sistemi a massa variabile, cioè, se in un sistema varia la massa, devo considerare che valga in ogni istante anche se m non è costante, oppure devo prendere per intero e derivare anche la massa cosi che l'equazione diventa ? in quel caso la risposta non è universale... o meglio, la seconda cosa che ho scritto è vera sempre ma a volte è difficile da usare quindi conviene studiare un sistema piu piccolo e usare la prima; anche in questa situazione la variazione della massa non è una conseguenza della forza, come non è una conseguenza del lavoro sul gas la perdita di moli nel problema in questione; il problema è sempre lo stesso: e sono variabili "di stato" del sistema e vanno differenziate come tutte le altre o il sistema va considerato avere in ogni istante quella quantità di moli ( rispettivamente di massa ) e applicare le equazioni istante per istante come se quelle quantità fossero costanti? ho proposto la questione perchè magari potrebbe essere un analogia interessante...

[Simone256]

L'analogia è molto interessante e credo che il nocciolo della questione si trovi proprio qui! Se su una slitta ci sono dei razzi che imprimono una forza costante e questa slitta perdesse della massa nel tempo, non bisogna includere il termine in (termine negativo), perchè se così fosse toglieresti merito alla forza di aver accellerato fino alla velocitá istantanea la massa .
Diverso sarebbe se "piovesse" della massa a ritmo costante a velocitá nulla nella slitta, allora lì vanno considerati entrambi i termini perchè i razzi sono responsabili dell'accelerazione della massa appena piovuta.
Questo tema è molto delicato e c'è tanto su cui ci si può confondere! Se la pensi diversamente smontami pure