37: Un filo rovinato

Messaggio da **arna1998** » 8 feb 2015, 16:58

Un filo di rame di lunghezza $l=10m$ è usurato e la sua forma può essere approssimata ad un tronco di cono. Il raggio della sezione maggiore è $R_1=10mm$ , mentre il raggio della sezione minore è $R_2=5mm$ .
1. Determinare la resistenza $R$ del filo sapendo che la resistività del rame è $\rho_Cu=1,7\cdot 10^{-8} \Omega \cdot m$ .
2. Determinare il campo elettrico massimo e minimo nel filo, sapendo che in esso scorre una corrente $I=10A$ .

Per i più esperti è un problema semplice, e forse qualcuno lo ha già fatto, ma non conosco molte fonti di esercizi escludendo quelli delle olimpiadi

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 8 feb 2015, 17:46

Provo i risultati:
1) $R=1,08 \cdot 10^{-3} \Omega$
2) $E_{min}=5,4 \cdot 10^{-4} \frac{V}{m}$
3) $E_{max}=2,16 \cdot 10^{-3} \frac{V}{m}$

Messaggio da **arna1998** » 8 feb 2015, 18:17

Si sono giusti

Metti pure il prossimo problema, e se hai voglia il procedimento.

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 8 feb 2015, 18:25

No dai aspetto qualche giorno se qualcun altro trova la soluzione. Tanto il problema mi sembra che possa essere alla portata di tutti

Scugnamì · Messaggio da **Scugnamì** » 8 feb 2015, 19:42

Beh proviamoci. Consideriamo l'intero resistore come un'unione di resistori infinitesimi di lunghezza $dl$ tutti in serie. Ogni elemento avrà allora resistenza $\displaystyle R=\rho\frac{dl}{\pi r^2}$ dove $r$ è il raggio della sezione del resistore.
Ora notiamo che dato che il resistore è un tronco di cono il raggio cresce linearmente con la lunghezza del filo: in particolare si trova $2\cdot 10^{3}r-10=l$ da cui $dl=2 \cdot 10^{3}dr$ .
Quindi $\displaystyle R=\rho\frac{2 \cdot 10^{3} dr}{\pi r^2}$ Adesso dato che i nostri bei resistori infinitesimi sono in serie integriamo: $\displaystyle R=\int_{5}^{10}\rho\frac{2\cdot 10^{3} dr}{\pi r^2} \, dr= \frac { 10^{6}\rho}{5\pi}=1,08 \cdot 10^{-3} \Omega$ .
Adesso dato che $E=\rho J$ e la corrente è omogenea si ha in ogni elemento del filo $E=\frac{I}{A}\cdot \rho$ . Ciò significa che quando l'area è minima cioè con $r=5 mm$ il campo è massimo e viceversa. Sostituendo i valori si ha (come trovato da Andrea) $E_{max}=2,16 \cdot 10^{-3} \frac{V}{m }$ e poi $E_{min}=5,4 \cdot 10^{-4} \frac{V}{m }$

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 8 feb 2015, 20:31

Vuoi provare anche a trovare la resistenza a partire dal campo elettrico e vedi se torna?

Messaggio da **Simone256** » 8 feb 2015, 20:52

andrea96 ha scritto:Vuoi provare anche a trovare la resistenza a partire dal campo elettrico e vedi se torna?

Cosa intendi di preciso?

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 8 feb 2015, 23:51

Simone256 ha scritto:
andrea96 ha scritto:Vuoi provare anche a trovare la resistenza a partire dal campo elettrico e vedi se torna?
Cosa intendi di preciso?

La resistenza puoi calcolarla anche da $R=\frac{\Delta V}{I}$ se conosci la differenza di potenziale tra i due estremi, che è ricavabile dal campo elettrico...

Messaggio da **Simone256** » 9 feb 2015, 0:04

Aaaah okok

Scugnamì · Messaggio da **Scugnamì** » 9 feb 2015, 19:14

Se ho capito cosa intendi abbiamo che in ogni sezione di lunghezza infinitesima del filo si ha $\displaystyle E=\frac{I}{A}\cdot \rho$ . Adesso scriviamo $\displaystyle R=\frac{\Delta V}{I}=\frac{\int_{0}^{10} E\, dl}{I}=\frac{\int_{0}^{10} \frac{I}{\pi r^2}\cdot \rho \, dl}{I}$ che ci riporta sempre con le stesse osservazioni sul $dl$ alla stessa formula di prima. Corretto?

37: Un filo rovinato

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