energia elettrostatica

[andrea96]

Mi è venuto in mente che c'è un fatto teorico di enorme importanza, che non è noto quasi per niente a scuola, e che potrebbe essere messo sotto forma di problema. Lo metto perchè su quello che viene fuori si può fare una discussione interessante....
Allora è bene noto che se nello spazio ci sono solo due cariche puntiformi, l'energia elettrostatica è:
-positiva, se le cariche hanno lo stesso segno ( detto in altri termini, il campo tenderà a disgregare il sistema )
-negativa, se le cariche hanno segno opposto ( detto in altri termini, per disgregare il sistema devo fornire energia )
La stessa cosa vale per un sistema qualsiasi di cariche puntiformi, cioè a seconda di come è fatto il sistema posso ottenere energia positiva, negativa o nulla.
Tutto ciò non è più vero se prendiamo una distribuzione continua di carica ( con ciò si vuole intendere che in ogni punto dello spazio la densità di carica elettrica assume un valore finito ).
La domanda quindi è questa: dimostrare che per ogni funzione assegnata della densità di carica elettrica nello spazio, dove assume valori finiti in ogni punto, l'energia elettrostatica del sistema , rispetta sempre la condizione e dire quando vale il segno di uguale.
Sinceramente non ho provato ( e non ho voglia di farlo ) a fare la dimostrazione usando la forza bruta e litri di inchiostro, però se trovare una dimostrazione contosa mi interessa anche quella ; in ogni caso esiste un modo molto molto rapido che ha implicazioni molto molto interessanti soprattutto nel confronto con il caso puntiforme. Vi assicuro che vale la pena affrontare l'argomento

[Simone256]

Chiedo umilmente un piccolo Hint

[andrea96]

Chiedo umilmente un piccolo Hint

ed io umilmente te lo do :
Per una distribuzione discreta di carica tu calcoli l'energia elettrostatica sommando quella dovuta a tutte le coppie. Puoi farlo anche con una distribuzione continua considerando come "coppie" tutte le coppie di punti ( è più difficile adirsi che a farsi, in poche parole è evidente che in quel caso l'energia elettrostatica è ), però... però puoi calcolarla anche in un altro modo ( che in realtà si ricava dall'ultima formula che ho scritto).......

[phyknight]

E' un risultato strabello, non ci avevo mai pensato

Allora, parto da
Uso il fatto che e trovo

A questo punto, cercando di scrivere in modo più utilizzabile quello che ho dentro l'integrale, ho trovato che
e quest'ultima è semplicemente la formula della moltiplicazione con e , usando poi il fatto che

Ora, usando quello che ho scritto sopra,
all'ultimo passaggio ho usato il teorema della divergenza dove l'integrazione è sul bordo del volume

Il volume su cui stiamo integrando contiene tutta la distribuzione di carica, quindi non ci dovrebbero essere problemi se consideriamo tutto lo spazio; infatti se tutta la distribuzione fosse contenuta in un volume finito, quello che sta fuori da quel volume non da altro contributo all'integrale (non c'è nulla), allora se le considerazioni sono giuste possiamo fare l'integrale su tutto lo spazio e quindi il contorno va all'infinito.
Per questo, il primo termine di è , perché all'infinito il potenziale è nullo, e quindi


Ora dovrebbe essere finito, perché l'integrale è fatto sul modulo di e quindi è sempre positivo

[phyknight]

Non so se quello che sto per dire è sensato, ma mi sembra che almeno è poco insensato...probabilmente è una sovrapposizione delle due cose...

Il risultato sembrerebbe assurdo, confrontandolo con una distribuzione discreta di cariche in cui l'energia può essere negativa...tuttavia c'è da considerare una cosa...questo e inoltre mi sa che l'argomento puzza di rinormalizzazione perché sembrano uscire degli infiniti...poi boh ci potrebbe anche essere una spiegazione più banale

[andrea96]

Ok è questa la spiegazione corretta. Mi è venuto in mente di proporre questo fatto sotto forma di problema proprio per affrontare l'argomento dell'autoenergia! è evidente che se si fa l'integrale del quadrato del campo per una distribuzione discreta si ottiene un infinito, ed è dovuto al fatto che ci vuole un energia infinita per creare una carica puntiforme, cosa che nella storia della fisica ha portato a non pochi problemi: l'idea di particella puntiforme carica ( ad esempio l'elettrone ) sembra non funzionare. In effetti a quanto so il problema dell'autoenergia dell'elettrone è stato risolto da Feynman con l'elettrodinamica quantistica.
L'idea intuitiva del perchè quando calcoliamo l'energia di un sistema discreto ci vengono anche energie negative potrebbe essere questa: prendiamo un sistema di "grumi di carica" piccoli e dove la densità di carica ha sempre valori finiti. Ora l'energia del sistema è l'energia di interazione mutua di ogni "grumo" con un altro, più l'energia dei singoli pezzi di un grumo con altri pezzi dello stesso grumo. Ora questo sistema può trasformarsi in un sistema discreto se rimpiccioliamo all'infinito ogni grumo.
è chiaro che l'energia aumenta quando rimpicciolisco e diventa infinita quando il grumo diventa una carica puntiforme. Tuttavia per ipotesi una carica puntiforme è una cosa non divisibile, e visto che l'energia è un qualcosa che prendo come differenza tra due stati, posso tranquillamente non preoccuparmi dei termini infiniti nell'energia elettrostatica perchè non posso mai ottenere un sistema in cui i grumi hanno un autoenergia diversa.
Il ragionamento semplificato finale l'ho inventato mentre scrivevo il messaggio quindi potrebbe sembrare un po "accroccato".