29:scivolamento di una sbarretta.

[andrea96]

Dopo la quantità di problemi sulle sbarrette che sono usciti lo scorso anno tra fase locale e nazionale si spera che quest'anno non se ne vedano quindi ne metto uno io!
Una sbarretta uniforme di lunghezza è appoggiata al muro con la sua estremità più alta e al pavimento con quella più bassa che è a una distanza infinitesima del muro. Non c'è nessun tipo di attrito. Appena la sbarretta viene lasciata libera di muoversi l'estremità più in alto scivola sul muro verso il basso e quella più in basso scivola sul pavimento verso destra.
Determinare la componente orizzontale della velocità nell'istante in cui l'estremo più in alto della sbarretta perde contatto con il muro.

[Simone256]

Provo il risultato:

[andrea96]

No non mi torna...

[Simone256]

'Rcoggiuda fa finta che non abbia scritto niente allora
Edit: Ho dimenticato di tirare in ballo l'energia cinetica rotazionale

[andrea96]

'Rcoggiuda fa finta che non abbia scritto niente allora
Edit: Ho dimenticato di tirare in ballo l'energia cinetica rotazionale

va beneeeeee
Appena hai il risultato considerando l'energia rotazionale posta la soluzione

[Simone256]

So che Orso è in fase di risoluzione!
Lascio tutto il terreno a lui e mi concentro sull'ultima verifica del 2014 di domani

[OrsoBruno96]

In questo problema, per la prima volta sono riuscito ad utilizzare gli strumenti avanzati che ho imparato con grandi fatiche

Spero che ci sia una soluzione più furba della mia, che è molto brute force

Considerazioni:
1)l'istante in cui la sbarra si stacca dal muro è quando il muro non deve più esercitare alcuna forza sulla sbarra, ovvero la reazione vincolare è 0. visto che è anche l'unica forza orizzontale, la componente orizzontale dell'accelerazione è 0.
2) mi è risultato molto più facile fare i conti esprimendo tutto in funzione dell'angolo che la sbarra forma con il piano orizzontale e delle sue derivate. Per non morire di latex, chiamerò l'angolo a (e le sue derivate nel tempo a' e a'');)

Soluzione:







ma e
rimaneggiando,
mentre

L = K - U

equazione del moto di lagrange

facendo le opportune derivate si ottiene l'equazione del moto che non ho alcuna intenzione di risolvere ma mi serve.

mettiamo da parte questa equazione che ci serve fra poco e torniamo alla condizione di distacco


ma

facendo la derivata e ponendola uguale a 0 si ottiene l'equazione

sostituendo la derivata seconda dell'angolo con l'equazione del moto, si ottiene l'equazione

Ora sfrutto il fatto che l'energia meccanica totale si conserva



mettendola a sistema con la condizione di distacco ottengo la soluzione ;

che finalmente dopo immensa fatica posso sostituire trovando

detto questo, spero che qualcuno abbia una soluzione più furba della mia chiedo scusa se ho saltato un po' di conti ma ho una simulazione di terza prova da affrontare.

[andrea96]

Per un momento ho temuto che avessi risolto l'equazione del moto ma fortunatamente questo non è successo
Il metodo è lo stesso che ho utilizzato io Fortunatamente ho appena visto che la soluzione che porta il libro da cui ho preso il problema ( che è il morin ) è completamente diversa e appena avrò il tempo la posterò!
Nel frattempo puoi andare con il prossimo problema!

P.S. Per quelli che non conoscono la meccanica lagrangiana l'equazione del moto può essere trovata anche scrivendo l'equazione del momento angolare e sostituendo le reazioni vincolari con le espressioni che vengono dall'equazione dei Newton. Se non sono stato chiaro ve lo spiego meglio... comunque penso che ci voglia più tempo a fare i calcoli in questo modo che a studiare la meccanica lagrangiana che, sempre per chi non la conosce, è un formalismo equivalente alla meccanica Newtoniana che ha il vantaggio di essere fondata su equazioni "pure" cioè equazioni in cui non compaiono reazioni vincolari, e quindi è parecchio utile nei problemi in cui le coordinate non sono tra loro indipendenti ( in questo ad esempio x e y potevano essere scritti in funzione di a, come ha fatto orso, e scrivere poi l'equazioni di lagrange per quest unica variabile, e tutto questo sottintende la presenza di reazioni vincolari...); ho scritto questa roba poco comprensibile per incuriosire chi non conosce l'argomento

[andrea96]

Posto l'altra soluzione perchè ne vale veramente la pena per la bellezza e la quantità minima di calcoli
Il punto fondamentale è quello di notare che visto che le coordinate del centro di massa sono e , il centro di massa si muove su una circonferenza centrata nel vertice di raggio . Allora è anche l'angolo formato dalla retta che congiunge lo spigolo con il centro di massa e il pavimento.
La conservazione dell'energia si scrive

e indicando con la velocità del centro di massa, visto che questo si muove sulla circonferenza si ha che messo nella conservazione dell'energia ed esplicitando rispetto alla velocità porta a:

e considerando che la velocità e perpendicolare alla congiungente vertice-centro di massa:
.
Ora, visto che l'unica forza orizzontale è quella esercitata dalla parete, quando questa si azzera ( condizione per la quale si perde il contatto con la parete ) si azzera anche la derivata della velocità orizzontale rispetto al tempo, e visto che e visto che sappiamo che quando si perde il contatto la sbarra è ancora in rotazione ( cioè non è nullo ), allora la condizione è .
Azzerando quindi la derivata si ottiene cioè

[Simone256]

Come si giunge subito a questo? Si potrebbe fare . Poi come detto si ricavano le due in funzione solo di e quindi di . Cioè il risultato è uguale ma non capisco come si possa saltare subito alla formula che lega il quadrato della velocità angolare con quel termine proporzionale a .