:Immaginate di trovarvi su una delle macchinine e raccontateci cosa vedete voi da lì
21: Incroci!
Re: 21: Incroci!
Ok dai provo a dare un aiutone :
Immaginate di trovarvi su una delle macchinine e raccontateci cosa vedete voi da lì
:Immaginate di trovarvi su una delle macchinine e raccontateci cosa vedete voi da lì
There once was a classical theory,
Of which quantum disciples were leery.
They said, "Why spend so long
On a theory that's wrong?"
Well, it works for your everyday query!
Of which quantum disciples were leery.
They said, "Why spend so long
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Re: 21: Incroci!
Invece di lavorare nel piano (come sembrerebbe suggerire il testo del problema) aggiungiamo una terza coordinata (il tempo) e visualizziamo il moto in questo spazio a tre dimensioni. Visto che la velocità di ciascuna macchinina è costante, le trasformazioni che mandano le rette (traiettorie) nei loro trasformati (fantasia al massimo) in questo spazio sono affinità, dunque le rette delle rispettive traiettorie vengono mandate in altre rette.
Queste nuove rette si incontrano, per ipotesi, in almeno 5 punti (che sarebbero gli scontri tra le macchinine), la nostra tesi diventa quindi mostrare che in realtà si incrociano in ben 6 punti.
Supponiamo per assurdo che ogni terna di rette dia luogo a due sole intersezioni (o meno), il numero massimo di intersezioni totali sarebbe allora
Dove bisogna dividere per
in quanto ogni intersezione è stata contata due volte (una per ognuna delle rette che non la contengono). Visto che sappiamo di avere in totale 
intersezioni, siamo giunti ad un assurdo, deve dunque esistere una terna di rette che dà luogo a tre intersezioni.
Ma, dalla geometria solida scolastica sappiamo che tre punti identificano un piano, e quindi nel nostro spazio strano tre rette sono complanari. La rimanente retta, per darci le due intersezioni necessarie, deve intersecare esattamente due di queste rette complanari, ed è quindi anch'essa a loro complanare. Quindi, visto che per ogni coppia di rette complanari deve esserci un'intersezione (in quanto non ci sono coppie di rette parallele e nemmeno terne di rette concorrenti per ipotesi) il numero di intersezioni dovrà essere
, e con questo abbiamo finito!
Queste nuove rette si incontrano, per ipotesi, in almeno 5 punti (che sarebbero gli scontri tra le macchinine), la nostra tesi diventa quindi mostrare che in realtà si incrociano in ben 6 punti.
Supponiamo per assurdo che ogni terna di rette dia luogo a due sole intersezioni (o meno), il numero massimo di intersezioni totali sarebbe allora
Dove bisogna dividere per
Ma, dalla geometria solida scolastica sappiamo che tre punti identificano un piano, e quindi nel nostro spazio strano tre rette sono complanari. La rimanente retta, per darci le due intersezioni necessarie, deve intersecare esattamente due di queste rette complanari, ed è quindi anch'essa a loro complanare. Quindi, visto che per ogni coppia di rette complanari deve esserci un'intersezione (in quanto non ci sono coppie di rette parallele e nemmeno terne di rette concorrenti per ipotesi) il numero di intersezioni dovrà essere
Re: 21: Incroci!
Non ho capito bene il motivo per cui fai il ragionamento sulle trasformazione affini: nel piano x-y-t le traiettorie sono rette per ipotesi! il testo del problema non dice solo che le macchine si muovono su una retta, ma dice proprio che si muovono di moto rettilineo uniforme; se mi sfugge qualcosa correggimi, te lo dico perchè quando l'ho fatto io mi è sembrato che bastasse fare il ragionamento sulla complanarità...
P.S. in ogni caso il procedimento è giusto ora aspettiamo simone per la conferma ufficiale ( e magari se gli va scrive anche il procedimento che partiva dal suo suggerimento che secondo me è il più bello
)
P.S. in ogni caso il procedimento è giusto ora aspettiamo simone per la conferma ufficiale ( e magari se gli va scrive anche il procedimento che partiva dal suo suggerimento che secondo me è il più bello
)Re: 21: Incroci!
Ho cercato di dire "vero per ipotesi" in modo più matematico/figo (conta che di solito il moto lo tratto in una sola coordinata spaziale, e mi è sembrato di dover chiarire), ma in effetti è una precisazione abbastanza inutile che crea solo problemi di comprensione...
Re: 21: Incroci!
Ooook lasker come ti ha già detto andrea vá benissimo 
Soluzione 2:
Chiamiamo A, B, C, D le macchine, poniamo che il sesto incrocio da verificare sia quello tra C e D.
Mettiamoci nel sistema di riferimento di A, anche qui le macchine si muovono di moto rettilineo uniforme (A è ferma diciamo nel punto P) se vogliamo sempre per motivi di affinitá. Ma allora le traiettorie in questo sistema di riferimento sono 3 rette passanti per P. Ma anche B incontra in un punto sia C che D ma poichè questo punto non coincide con P per ipotesi abbiamo che nel piano le rette di C e B hanno due punti distinti in comune così come le rette di D e B. Da qui è immediato dedurre che le rette di C e D coincidono quindo avverrá anche questo incrocio!!
Soluzione 2:
Chiamiamo A, B, C, D le macchine, poniamo che il sesto incrocio da verificare sia quello tra C e D.
Mettiamoci nel sistema di riferimento di A, anche qui le macchine si muovono di moto rettilineo uniforme (A è ferma diciamo nel punto P) se vogliamo sempre per motivi di affinitá. Ma allora le traiettorie in questo sistema di riferimento sono 3 rette passanti per P. Ma anche B incontra in un punto sia C che D ma poichè questo punto non coincide con P per ipotesi abbiamo che nel piano le rette di C e B hanno due punti distinti in comune così come le rette di D e B. Da qui è immediato dedurre che le rette di C e D coincidono quindo avverrá anche questo incrocio!!
There once was a classical theory,
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They said, "Why spend so long
On a theory that's wrong?"
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Re: 21: Incroci!
Provo con un altro approccio.
Prendo una coppia di rette/traiettorie in cui avviene un incrocio "esterno" (cioè tale che sia il primo per entrambe le auto). Considero quella di cui non sappiamo se si scontra la terza volta e congiungo gli incroci di tutte le altre auto con il punto in cui si trova quella considerata. Poiché i moti sono rettilinei uniformi, i triangoli risultano simili e, avendo una coppia di lati ciascuno sempre sulle stesse due rette, i terzi lati saranno paralleli. Ma se due corpi in moto mantengono costante la direzione reciproca si incontreranno, e quindi avviene anche il sesto incrocio.
Prendo una coppia di rette/traiettorie in cui avviene un incrocio "esterno" (cioè tale che sia il primo per entrambe le auto). Considero quella di cui non sappiamo se si scontra la terza volta e congiungo gli incroci di tutte le altre auto con il punto in cui si trova quella considerata. Poiché i moti sono rettilinei uniformi, i triangoli risultano simili e, avendo una coppia di lati ciascuno sempre sulle stesse due rette, i terzi lati saranno paralleli. Ma se due corpi in moto mantengono costante la direzione reciproca si incontreranno, e quindi avviene anche il sesto incrocio.
Re: 21: Incroci!
due cose: 1) ci troviamo in x-y o in x-y-t?
2)
2)
non mi è molto chiaro questo passaggio...matpro98 ha scritto:Poiché i moti sono rettilinei uniformi, i triangoli risultano simili
Re: 21: Incroci!
Percorrono in tempi uguali spazi proporzionali alle velocità, che sono costanti, quindi i lati di quei triangoli sono in proporzione
Re: 21: Incroci!
Ma gli incroci non avvengono tutti nello stesso istante quindi il tratto che una macchina percorre tra un incorcio e l altro avviene in un tempo, quello di un altra macchina avviene in generale in un altro tempo quindo i tratti non sono percorsi in tempi uguali
Re: 21: Incroci!
E infatti non dico di tutti.
Prendi in considerazione il primo incrocio della macchina che in teoria ne fa solo due. Poi da tutti gli incroci delle altre mabdi le rette per il punto in cui si troverebbe la prima. Per quanto detto, i triangoli ottenuti con l'incrocio considerato sono simili.
Prendi in considerazione il primo incrocio della macchina che in teoria ne fa solo due. Poi da tutti gli incroci delle altre mabdi le rette per il punto in cui si troverebbe la prima. Per quanto detto, i triangoli ottenuti con l'incrocio considerato sono simili.