20:staffetta-meccanica statistica

[sall96]

Un altra cosa: chiaramente rispettando i tuoi impegni, quando hai tempo non è che potresti indicarmi qualche dispensa fatta bene introduttiva alla meccanica statistica che potrei capire? perchè ho visto giusto qualcosa dell'argomento e mi interessa molto quindi se esistesse qualcosa di questo tipo mi farebbe piacere

Se non e' un problema anche a me interesserebbe molto

[Pigkappa]

Dispense decenti non me ne vengono in mente, è una materia difficile da spiegare. Libri possibili sono il Kittel (mi pare si chiami Thermodynamics) e lo Huang (Statistical Mechanics). Sono lunghi ma potete leggere solo fino a dove vi interessa e da quel che ricordo sono abbastanza chiari rispetto alla complessità della materia.

Lo Huang e' piu' famoso ma la mia impressione era che il Kittel fosse piu' semplice.

[poor]

Una dimostrazione della sua validità generale è molto complicata però la puoi provare a dimostrare nel caso particolare di una gas a temperatura costante e uniforme soggetto alla gravità ( per darti un idea il rapporto delle densità a due altezze sarà chiaramente il rapporto tra le probabilità di trovarsi alle due altezze... ).

E' un bel problema che mi pare risponda anche a pigkappa.. Se si tratta di una colonna di gas ideale le cui molecole sono soggette alla forza peso mi verrebbe una densità d(h) variabile con l'altezza

dove m è la massa di una molecola e la costante di Boltzmann. Però perchè la probabilità? L'unica cosa che mi viene in mente è: la densità posso vederla come numero di molecole per unità di volume poniamo all'altezza h cioè che varia con h. Allora dividendo ambo i membri per il numero totale di molecole fratto il volume avrei proprio il rapporto fra il numero di quelle che stanno a h cioè che hanno energia mgh e il numero totale quindi la probabilità che una molecola sia a quota h e abbia energia mgh...sarà così?

[andrea96]

si beh in effetti quello penso sia uno dei casi a cui si riferiva pigkappa, in cui rientrano anche tutti gli altri di quel tipo ( ad esempio se si sostituisce la forza peso con una forza elettrica ecc... ) e devo pensare se ce ne siano di casi completamente diversi in cui riesco a fare una dimostrazione...
riguardo il tuo dubbio sulla probabilità prova a vederla così: in un gas ( ma più in generale in parecchi sistemi termodinamici ) si fa sempre l'ipotesi che le particelle siano indistinguibili ( in termini moderni si dice anche che esiste una simmetria rispetto a scambi di particelle... ) di conseguenza ogni particella come sà dove deve andare? beh in realtà non lo sa (per evitare obbiezioni del tipo: il moto è regolate dalle leggi di newton, chiarisco che bisogna collocarsi sempre all'interno della meccanica statistica )! ogni particella si mette quindi in una posizione qualsiasi, e se la probabilità che una particella sia in è alla fine ci saranno una quantità di particelle in ogni intorno di un punto che è proporzionale alla probabilità di stare in quel punto. Ma la funzione che descrive la quantità di particelle nell'intorno di un punto è proprio la funzione densità! Noi diciamo stiamo al contrario delle particella... partiamo dalla fine, cioè dalla densità! Troviamo la funzione densità e diciamo, in base a quel ragionamento che ho fatto: questa è anche la funzione probabilità!

[poor]

Ma la probabilità è sempre un numero puro che eventualmente esprime un rapporto fra due grandezze omogenee per es. due densità o due aree...Quindi dire che la densità ( espressa per es. come numero di particelle per unità di volume in un certo intorno come dici tu) è una probabilità non mi torna. Potrebbe essere una funzione di distribuzione tipo dP/dx: però poi bisogna integrare per trovare la probabilità che sia compresa fra due certi x...

[andrea96]

sisi certo che deve essere un numero puro! ma infatti la legge di boltzmann dice la probabilità è proporzionale a quella funzione non che è quella funzione! Nell'argomentazione che ho dato prima ho detto che la funzione densità è anche la funzione probabilità con un'abuso di terminologia: chiaramente deve esserci una costante di proporzionalità che viene scelta proprio in modo che la funzione sia normalizzata a 1! Non l'ho specificato perchè spesso se due grandezze differiscono solo per una costante si dice che sono uguali anche se in realtà non è proprio cosi ( pensa a temperatura e energia cinetica media ); chiaramente quando si parla di probabilità risulta un po strano parlarne in termini di una funzione non normalizzata ma sottintendevo una costante di proprorzionalità. Scusami per l'imprecisione

[andrea96]

pensate sia il caso che io dia un altro aiutino...??

[Simone256]

Forse ho letto male il testo... Immaginandomi la situazione però credo che l'area efficace delle pale su cui idealmente le molecole rimbalzano sia un dato necessario! Se infatti quest'area fosse 0 non vedo come possa la massa sollevarsi

[andrea96]

in realtà anche se togli le pale all'interno del recipiente c'è l'estremo dell'asta che può essere colpito tangenzialmente dalle particelle e girare, se togli anche l'asta hai cambiato il problema... la domanda sorge spontanea: "ma le dimensioni delle pale e la lunghezza del pezzo dell asta che si trovano nel recipiente sono costanti del problema che io posso cambiare e far tendere a zero, perchè in quel limite perde tutto di significato?" beh tieni presente che siamo nell'ambito della meccanica statistica in cui non ho nemmeno uno straccio di legge universale. Ad esempio se prendi le equazioni di maxwell riesci ad applicarle in qualsiasi limite fisico ( dico fisico perchè ci siamo resi conto dei problemi che generano gli infiniti ), ma con le leggi statistiche non è così! si dimostrano a partire da situazioni ben precise e valgono per quelle situazioni! estenderle a limiti dove la situazione cambia ti porta a risultati sbagliati...
Non scendo troppo nello specifico del problema perchè seno dovrei dare un idea del procedimento, però posso dirti che l'indipendenza dall'area efficace delle pale discende dalla generalità della legge di boltzmann...

[Simone256]

Mi hai spento definitivamente
Se vuoi piazza un'altro hint!