18:(capitolo secondo) cinematica delle formiche

[Lasker]

Il problema è che questo esercizio è un po' troppo noto (soprattutto per la bellezza della soluzione), dubito ci sia qualcuno sul forum che non l'ha mai visto prima

[andrea96]

Si anche io penso che il problema sia fondamentalmente questo...

[andrea96]

ho messo quell'indizio così magari riesce a risolverlo qualcuno che non l'ha mai visto

[arna1998]

Grazie al grande suggerimento di andrea96, sono riuscito a trovare qualcosa.
Scomponendo la velocità troviamo una componente radiale e una tangenziale, che rimangono costanti per tutta la durata del moto siccome muovendosi tutte alla stessa velocità apparterranno a una circonferenza via via più piccola.
1)Siccome il moto è una composizione di un moto circolare uniforme con il raggio che diminuisce costantemente nel tempo, a mio parere vedremo tante spirali quante sono le formiche.
2)Chiamiamo l'angolo compreso tra il raggio che congiunge un vertice con il centro della circonferenza e un lato che contiene lo stesso vertice. Esso ha ampiezza . La velocità radiale vale quindi , ma siccome contiene il termine possiamo semplificare in .
Chiamiamo invece l'angolo compreso tra un apotema di un lato e un raggio relativo a un vertice dello stesso lato. Possiamo ricavare la sua ampiezza considerando un triangolo isoscele con base un lato lati i due raggi relativi a i vertici: . Il raggio della circonferenza circoscritta al poligono di partenza è: . Il tempo che impiegano a incontrarsi è quindi il tempo che impiegano a percorrere a velocità :

3)Devo ancora ragionare bene sul terzo punto, se trovo qualcosa lo posterò.

[andrea96]

Finchè non posti il punto 3 purtroppo non posso considerare il problema risolto e quindi non posso farti postare il prossimo
Ragiona bene sul punto 3 che poi è quello più interessante e che si può fare in almeno 2 modi diversi...

[arna1998]

Edit: ho inserito due messAggi uguali per sbaglio.

[arna1998]

Ci ho ragionato, e aiutandomi con wolfram per i conti sugli integrali, dovrei aver trovato qualcosa, però è un risultato che non mi aspettavo.
Sappiamo che per trovare la il numero di giri dobbiamo trovare prima , ovvero lo spostamento angolare di una formica, e poi dividerlo per .
Sappiamo che , ma varia in funzione del tempo dato che dove dipende dal tempo e è la velocità tangenziale. , mentre per trovare possiamo fare un ragionamento simile a quello che ho scritto nel post precedente, quindi

. Se integriamo tutte due i membri tra e otteniamo lo spostamento angolare:



Questo vuol dire che la formica fa infiniti giri prima di arrivare nel centro? Forse ho sbagliato a interpretare il risultato di wolfram alpha perchè mi diceva che l'integrale non convergeva, ma facendo qualche ricerca su internet ho trovato che dovevo considerarlo infinito.

[sall96]

è un risultato che non mi aspettavo.

I risultati che non si aspettano sono sempre i più belli

[Simone256]

Se le formiche non fossero puntiformi?

[andrea96]

Si il risultato è giusto quindi vai col prossimo problema.
Il risultato che viene infatti è bello e se uno ci pensa col senno del poi è abbastanza evidente anche qualitativamente: infatti se la velocità tangenziale è sempre la stessa e il raggio diminuisce linearmente, visto che questo implica che la circonferenza diminuisce linearmente pù mi trovo vicino e più faccio un giro in poco tempo così che per il raggio che tende a zero il periodo di rotazione tende a zero di conseguenza il numero di giri fatti diverge...

Se le formiche non fossero puntiformi?

Bella domanda! sai che non ci avevo mai pensato? vedo un po se riesco a tirare fuori qualcosa...